371 



Lader vi det vilkaarlige Punkt rykke uendelig fjernt — eller erindrer vi, at den 

 inverse Kurve til en cyklisk Kurve atter maa være cyklisk — faas heraf: 



(7) En cyklisk Kurve af fjerde Orden, der ikke gaar i det uendelige 

 og ikke har Dobbeltpunkter, har højest fire Infleksionspunkter. 



Da en Kurve af fjerde Orden altid maa have et lige Antal Infleksionspunkter, 

 og en Kurve uden Infleksionspunkter under de her forudsatte Betingelser er af 2den 

 Orden, ser man at Kurven maa have enten 4 eller 2 Infleksionspunkter. Da disse 

 Infleksionspunkter maa ordne sig i Infleksionspar, følger heraf: 



(8) En cyklisk Kurve af 4de Orden, der ikke gaar i det uendelige og 

 ikke har Dobbeltpunkter, har enten 2 eller 1 Dobbelttangent. 



Vi vil nu tage Hensyn til de ovenfor udelukkede Tilfælde, nemlig at Kurven 

 gaar i det uendelige eller — naar Talen er om Kurver af tredie eller tjerde Orden 

 — at disse kan have et Dobbeltpunkt. 



Lad os først betragte en cyklisk Hyperbel. Ved Inversion om et Punkt P af 

 selve Kurven faar man en Kurve af 3die Orden med et Dobbeltpunkt, og denne 

 haren Vendetangent. Forbindelsen mellem 

 et Kurvepunkt R og det enkelte Punkt 

 P, hvori Krumningscirklen i R paany 

 skærer Kurven, vil altsaa her være (1 — 1)- 

 tydig. Da man endvidere ligesom i Be- 

 viset for {2) ser, at fi og P maa bevæge 

 sig i modsatte Retninger, findes her al- 

 mindeligvis 2 Toppunkter. Ifald Kurven 

 specielt berører den uendelig fjerne rette 

 Linie, maa dog et af Sammenfaldspunk- 

 terne mellem R og P falde i det uendelig 

 fjerne Røringspunkt, thi den dobbelt-rcg- 

 nede uendelig fjerne rette Linie er en 

 speciel Cirkel. Man har altsaa: 



(9) En cyklisk Kurve af anden Orden, der gaar i det uendelige, har 

 to Toppunkter, naar Kurven er en Hyperbel, men kun ét, naar den 

 er en Parabel. 



Ved Bestemmelsen af Dobbeltnormaler maa vi erindre, at der til en Kurve 

 af anden Orden med to uendelig fjerne Punkter ikke gaar Tangenter i enhver 

 Retning. Ved de to uendelig fjærne Punkter U^ og (7, deles Kurven i to adskilte 

 Buer «Tj og «Tj. Lad M være et Punkt af «Tj. Den Cirkel med uendelig stor Radius, 

 der berører Kurven i M, vil yderligere sivære den i U^ og U., ; deraf følger, at de to 

 Punkter N^ og N.-,, hvori en Cirkel, der berører i M, anden Gang kan berøre Kurven, 

 maa ligge paa hver sin af de to Buer (TjOg (t, ; '^"l ^i l'gg^ pa^ «^u ^^ pa» <^2- 



Naar M gennemløber Buen «Xj, vil Nj gennemløbe hele «ij, og naar M falder 

 i f/i, maa N., falde i f/,. En Cirkel, der skal skære Kurven to Gange i to sammen- 

 faldende Punkter, hvoraf det ene er uendelig fjernt, maa nemlig være selve den 



Fig. 2. 



