372 8 



uendelig fjerne rette Linie regnet dobbelt. NaarMaltsaa gennemløber a^ fra [/j til t/j, 

 maa N, gennemløbe a., fra U., til U^. Men er Tangenterne i M og O parallele, og 

 gennemløber M Buen a^ fra [/j til t/,, vil O aabenbart gennemløbe «t., fra t/j til [/,■ 

 Forbindelsen mellem Q og Nj er gensidig énlydig; der finder derfor kun ét Sammen- 

 fald Sted o: 



(10) En cyklisk Hyperbel har én Dobbeltnormal (se Fig. 2). 



En Kurve med en parabolsk Gren kan ikke have nogen Dobbeltnormal. 



Inverterer man en cyklisk Kurve af tredie Orden uden Dobbeltpunkter om et 

 Punkt, der ikke ligger paa Kurven, faar man en Kurve af fjerde Orden uden 

 Dobbeltpunkter. Da nu ved Inversion et Toppunkt maa gaa over i etToppunkt har man : 



(11) En cyklisk Kurve af tredie Orden uden Dobbeltpunkt har 4 Top- 

 punkter. 



Har man en Kurve af 3die eller 4de Orden med Dobbeltpunkt, faar man 

 ved Inversion om dette Punkt en Kurve af anden Orden med to uendelig fjerne 

 Punkler. Heraf udleder man ved (10): 



(12) En cyklisk Kurve af 3die eller 4de Orden med ét Dobbeltpunkt 

 har 2 Toppunkter. 



O^^^^,^-. Som i Beviset for (6) ser man, at 



f /---V der gennem et vilkaarligt Punkt i Planen 



gaar 2 oskulerende Cirkler. Lader man 



©(^ N. C^r~^ /■ — ~\ Punktet være uendelig fjernt, følger heraf: 



Q ) (Pj CJ\) (13) En cyklisk Kurve af 4de Orden 



^■"^ med et Dobbeltpunkt har intet 



Fig- 3-8. 4 T f 1 1 • 1 , 



eller to Intleksionspunkter. 



For Kurven af 3die Orden findes kun det ene Infleksionspunkt som altid. 



Af (12) og (13) i Forbindelse med den almindelige Teori for Kurver af fjerde 



Orden følger: 



(14) En cyklisk Kurve af fjerde Orden med ét Dobbeltpunkt har 1 



eller 2 Dobbelttangenter. 



Ved det ovenstaaende i Forbindelse med min tidligere Opregning af samtlige 

 Former for Kurver af fjerde Orden er Formen af samtlige cykliske Kurver af fjerde 

 Orden bestemt. De findes i Fig. 3—8. 



Vi vil nu atter holde os til en cyklisk Ellipse og undersøge dens Evolut (sé 

 Fig. 1 og Fig. 2). For at kunne gøre dette, maa vi ganske vist forøge vore Forud- 

 sætninger, idet vi ogsaa om Evoluten forudsætter, at den er en simpel Kurve. 

 Dette er æquivalent med en Forudsætning om, at ogsaa 3die og 4de Differential- 

 kvotient for den givne Kurve afdelingsvis — i et endeligt Antal Intervaller — har 

 Værdier der er endelige og bestemte. 



Særlig vil vi søge at bestemme Evolutens Orden. Det er nemmere til en 

 Begyndelse at udvide Spørgsmaalet lidt ved at søge det højeste Antal af Krumnings- 

 cirkler, der kan skære en vilkaarlig given Cirkel x under ret Vinkel. Vi bemærker 



