9 373 



nu først, at der i Kurvens Plan altid findes Punkter, hvorigennem der ikke gaar 

 nogen Krumningscirkel. Alle Krumningsradierne er nemlig efter vore Forudsæt- 

 ninger endelige, og ifølge (2) findes der 4 extreme Værdier af dem. De to af disse 

 maa svare til Maksimum, to andre til Minimum, og Maksimum og Minimum maa 

 følge paa hinanden, naar vi gennemløber Kurven i en bestemt Retning. Hver 

 af Maksimumscirklerne omslutter begge Minimumscirklerne, thi de sidstnævnte maa 

 ligge inden i Ellipsen, medens de førstnævnte maa omslutte den. Gennem et Punkt, 

 der ligger udenfor begge Maksimumscirklerne, gaar altsaa ingen Krumningscirkel. 

 Lad P være et saadant Punkt. Vi danner et Cirkclbundt, der indeholder x og en 

 Nulcirkel, hvis Centrum er P, og betragter den Samling af paa hinanden følgende 

 Cirkler u i Bundtet, der begynder med Nulcirklen (P) og ender med /. Cirkler, 

 der ligger tilstrækkelig nær ved (P), skærer ikke nogen Krumningscirkel. Det 

 kommer nu an paa at se, i hvilke Overgangsstillinger der kan ske Ændring i 

 Antallet af de Krumningscirkler, der skærer ;/ under ret Vinkel. Disse Overgangsstillinger 

 maa være saadanne, hvor ij skærer to konsekutive Krumningscirkler orthogonalt. 

 Dette vil for det første ske, naar fi skærer en af de hyperoskulerende Cirkler 

 orthogonalt, thi i en saadan falder to konsekutive Krumningscirkler sammen. Naar 

 /ji skal skære to andre konsekutive Krumningscirkler orthogonalt, maa dens Centrum 

 ligge paa disses Radikalakse; men en saadan er Tangent til Ellipsen, og fi maa 

 tillige gaa gennem Røringspunktet. De søgte Overgangsstillinger af den sidstnævnte 

 Art er altsaa de Cirkler i Bundtet, der skærer den givne cykliske Ellipse orthogonalt. 

 Det samm.e kan ogsaa ses ved følgende Hjælpesætning, der ogsaa kan være 

 nyttig ved andre Undersøgelser over algebraiske Kurvers Evoluter: 



Er en plan Kurve stereografisk Projektion af en sfærisk Kurve, 

 vil den plane Kurves Evolut være Projektionen fra samme Øje- 

 punkt af den sfæriske Kurves reciprokke Polarfigur med Hensyn til 

 Kuglen. 



Dette Lemma er saa at sige selvfølgeligt, naar man erindrer den velkendte Bestem- 

 melse af Centret for den stereografiske Projektion af en paa Billedkuglen liggende Cirkel. 



De ovennævnte Paastande om Skiftet i Antallet af orthogonalt skærende 

 Krumningscirkler ses nu at følge deraf, at Antallet af Oskulationsplaner til en 

 Rum kurve gaaende gennem et Punkt P forandres med 2 derved (og for en 

 R* kun derved), at Punktet overskrider enten en stationær Oskulationsplan eller 

 Kurvens Tangenlflade. 



Af den første Art Overgange findes højest fire, da Kurven har 4 hyperosku- 

 lerende Cirkler. 



Af den anden Art kan vi vise at der højest findes to. Inverterer man nemlig 

 den givne Kurve med P som Inversionscentrum, maa den gaa over i en ny cyklisk 

 Ellipse, da den inverterede Kurve ligger helt i det endelige og hverken har Dobbelt- 

 punkter, Vendepunkter eller Spidser. Systemet af Cirklerne ti gaar over i et System 

 af koncentriske Cirkler, hvis fælles Centrum Q^ er det inverse Punkt til Centret for 

 den anden Nulcirkel i Bundtet. Men en Cirkel med givet Centrum (), kan kun 



O.K. D.Vidensk.Selsk Skr . 7 Hække, naturvldensk. og niathem. Afd. VIII. 6. 49 



