374 10 



skære den inverterede Oval orthogonalt i Røringspunktet for en fra Qi udgaaende 

 Tangent; af saadanne Tangenter findes højest to. 



Nu begynder « i Nærheden af (P) med ikke at skære nogen Krumningscirkel, 

 og er dens Radius bleven tilstrækkelig stor, vil den ende med del samme. Da der nu 

 ved Cirklens Variation i hele Bundtet højest kan ske 6 Overgange, vil der ved Variationen 

 af ß fra (P) til / højest tre Gange kunne være vundet to orthogonalt skærende 

 Krumningscirkler, d. v. s. der findes højest 6 Krumningscirkler til Kurven, der skærer 

 en given Cirkel orthogonalt. Dette gælder, hvor stor end den givne Cirkels Radius 

 er — selve Methoden kan ogsaa bruges, naar man lader x være en ret Linie — og 

 man ser herved, at der højest findes 6 oskulerende Cirkler, hvis Centrer ligger 

 paa en given ret Linie. Ovalens Evolut er allsaa højest af 6te Orden. Men da 

 Evoluten ligger helt i det endelige, maa den være af lige Orden, og da den har 4 

 Spidser svarende til Centerne for de hyperoskulerende Cirkler, kan den hverken 

 være af anden eller fjerde Orden, thi en Kurve af fjerde Orden kan højest have 3 

 Spidser. Vi har altsaa bevist: 



(15) Evoluten til en cyklisk Ellipse er i alle Til fæ Ide af 6te Orden. 



Vi vil dernæst søge at bestemme Evolutens Klasse og bemærker først, at der 

 gennem et vilkaarligt Punkt P i Planen maa gaa mindst to Tangenter til Evoluten 

 eller Normaler til den cykliske Ellipse. Dette er en Følge af, at der sikkert maa 

 findes baade et Maksimum og et Minimum af Afstande fra P til Kurvens Punkter, 

 da Kurven ligger helt i del endelige. Heraf sluttes, at man sikkert kan bestemme 

 en ret Linie, der gaar gennem P og højest skærer Evoluten i 4 Punkter; en saadan 

 vil man i hvert Fald kunne bestemme som en Linie, der er nærliggende til en 

 gennem P gaaende Tangent til Evoluten. Lad nu M være el Punkt, der gennem- 

 løber en saadan ret Linie m ud fra dennes uendelig fjerne Punkt. Til at begynde 

 med gaar der da lo og kun to Tangenter gennem M, da der i hver Retning gaar 

 to Tangenter til Ellipsen. Efter at hele Linien er gennemløbet, vil der atter gaa 

 to og kun to Tangenter gennem M. Da Evoluten ikke har Vendetangenter, kan 

 der ved ilfs Bevægelse kun være sket Ændring i Antallet af Tangenter gaaende 

 gennem M derved, at dette Punkt har overskredet Evoluten, men da man skal ende 

 og begynde med del samme Antal af Tangenter gennem M, kan der kun to Gange 

 være vundet to Tangenter. Gennem intet Punkt af Planen vil der allsaa kunne 

 gaa flere end 2 4-2-2 = 6 Tangenter. Da Evoluten ikke kan være af anden 

 Klasse, har man altsaa : 



(16) Evoluten til en cyklisk Oval er enten af 4de eller af 6te Klasse. 



Vi maa dog sikkre os, at begge Muligheder eksisterer; at den første kan findes, 

 ved man allerede fra den algebraiske Ellipse. Men man har i Almindelighed: 



(17) Enhver i det endelige liggende Kurve af anden O rd en ( m ed endelige 

 Kru mningsrad ier ), li vis Evolut er af 4 de Klasse, maa være cyklisk. 



Lad nemlig P være et Punkt, der ikke ligger paa Kurven, og lad det være Centrum 

 for en Cirkel i Kurvens Plan. Betragter vi nu alle de Cirkler, der har P til Cen- 

 trum, og lader Radien vokse fra en uendelig lille lil en uendelig stor Længde, vil 

 den begynde med ikke at have noget Punkt fælles med Kurven. Da der nu kun 



