11 



375 



kan ske Ændring i Antallet af Skæringspunkter mellem Kurven og en af Cirklerne 

 derved, at Cirklen beiører Kurven, og der efter Forudsætningen gennem P højest 

 gaar 4 Normaler til denne, vil Cirklen højest skære i 4 Punkter. Man ser let, at 

 dette ogsaa gælder, naar Cirklens Centrum falder paa selve Kurven. 



En Kurve af fjerde Orden, der skal kunne være Evolut til en cyklisk Oval, er 

 let at karakterisere (se Fig. 1). Den skal have 4 Spidser, og fra hvert Punkt i 

 Planen skal der til den gaa to Tangenter. Deraf følger straks, at den ikke kan 

 have noget Dobbeltpunkt, thi i Nærheden af et saadant Punkt vilde man kunne 

 finde Punkter, hvorfra der ikke udgik nogen Tangent. I Henhold til min tidligere 

 Klassificalion af alle Former af Kurver af 4de Klasse kan den ikke have anden 

 Form end den, der er givet for 

 Evoluten i Fig. 1. 



Enhver lukket Kurve uden 

 Spidser, hvis Evolut har denne 

 Form, vil være en cyklisk Oval. 

 Den nødvendige og tilstrækkelige 

 Betingelse for, at Evolventen til en 

 saadan Kurve lukker sig, er, som 

 man let ser: 



— Aß+ -CD = -AC+-BD, 

 hvor Å, B, C, D er de paa hinan- 

 den følgende Spidser paa Kurven. 



Er denne Betingelse opfyldt, 

 har man i Evolventen til Kurven 



— forsaavidt da intetsteds Krum- 

 ningsradius til denne bliver nul , 



— en i det endelige liggende cyk- 

 lisk Kurve uden Spidser, Vende- 

 punkter og Dobbelttangenter, men 

 en saadan maa være en Oval. 



Som Eksempel kan nævnes, at enhver ydre Parallelkurve til en Ellipse er en 

 cyklisk Oval. Endvidere ser man, at enhver af 4 Cirkelbuer sammensat Oval, da 

 højest en af Buerne kan være større end en Halvcirkel, vil skæres i højest 

 4 Punkter af enhver Cirkel, der ikke indeholder en af de sammensættende Buer. Oven- 

 staaende indeholder tillige et Bevis for Eksistensen af ikke analytiske cykliske Ovaler. 

 Naar Evoluten til en Oval er af 6te Orden, af 6te Klasse, maa den ogsaa 

 have 4 Spidser og 2 Dobbelttangenter. Men man kan endnu sige noget mere til 

 Karakterisering af denne Kurve. Ved Evoluten er bestemt et endeligt Omraade w, 

 der er begrænset af Buer af Evoluten. Alle disse Buer maa vende deres konkave 

 Side udad. Fra ethvert Punkt i Planen skal nemlig gaa mindst 2 Tangenter til 

 Kurven, og fra et uendelig fjernt Punkt netop 2; hvis nu en Begrænsningsbue af 

 fu vendte sin konvekse Side udad, vilde der fra et Punkt indeni w men nær ved 



49* 



Fig. 9. 



