376 12 



denne Bue ikke gaa nogen Tangent til Kurven. Kurven maa endvidere nødvendigvis 

 have et Dobbeltpunkt, thi ellers vilde hele Evoluten høre med til Begrænsningen 

 af u), og fra hvert Kurvej)unkt altsaa udgaa 2 og kun 2 Tangenter, der berørte 

 udenfor Punktet; Klassen blev da 4. Af eventuelle Dobbeltpunkter kan kun ét 

 høre til en Sløjfe, thi en Tangent, der ruller over hele Kurven, maa derved kun 

 have drejet sig 360°. 



Med disse Betingelser viser Prøve, at Evolutens Form maa være den, der er 

 angivet i Fig. (9), men det maa udtrykkelig bemærkes, at Beskrivelsen er ufuld- 

 stændig og f. Eks. ikke kan maale sig med de Beskrivelser, jeg tidligere har givet 

 af Formerne af Fjerdegradskurver. Betingelsen for, at en Evolvent til en saadan 

 Kurve lukker sig, er, idet A, B, C, D er Kurvens Spidser i den Orden, hvori de 

 følger paa hinanden paa Kurven: 



^AB + ^CD = ^AC + ~-DA. 



Er denne Betingelse opfyldt, ser man, som før, at en Evolvent til Kurven i 

 Fig. (9), der ikke naar ind til denne Kurve, vil være en Oval. 



Det kan endnu bemærkes, at to cykliske Ellipser j-^ og ; ,> kan lægges saaledes 

 i en Plan, at de tilsammen danner en cyklisk Kurve af 4de Orden. For at vise 

 Muligheden heraf bemærkes, at en Cirkel, fra hvis Centrum der kun udgaar to 

 Normaler til en Oval, ikke kan skære denne i flere end to Punkter. Dette bevises 

 aldeles som den ovenstaaende Sætning (17). En tilstrækkelig Betingelse for, at en 

 Cirkel, der skærer y^ i to Punkter, ikke kan skære y., i flere end to Punkter, 

 er altsaa den, at en Linie, der slaar vinkelret paa Midten af et Liniestykke, der 

 forbinder et Punkt inden i -j-^ med et Punkt inden i ^, ikke indeholder noget 

 Punkt, hvorfra der udgaar flere end to Normaler til nogen af Ovalerne d. v. s. at 

 en saadan Linie ikke gaar ind i de ovennævnte Omraader cu^ og lu., svarende til de 

 to Ovaler. Da (o^ og (Oo er fast knyttede til y^. og 7-.,, kan delte aabenbart naas 

 ved at fjerne disse tilstrækkelig langt fra hinanden. Ved hiversion kan heraf 

 udledes mere almindelige cykliske Kurver sammensatte af to Grene, hvis ikke- 

 analytiske Eksistens herved bliver godtgjort. 



Vi vil nu betragte en cyklisk Hyperbel (se Fig. 2). Her findes kun to hyper- 

 oskulerende Cirkler, og disse maa være numeriske Minima; de maa derfor ligge 

 helt indeni hver sin af de to Pseudogrene, hvori Kurven deles af de to uendelig 

 fjerne Punkter. Gennem et Punkt indenfor en af Minimumscirklerne gaar der 

 ifølge Hjælpesætningen S. 4 ingen oskulerende Cirkel. For nu ogsaa her at bestemme 

 Antallet af de Krumningscirkler, der skcerer en given Cirkel x orthogonal!, danner 

 vi paa lignende Maade som før Side 9 et Bundt af Cirkler bestemt ved / og en 

 Nulcirkel, hvis Centrum er et Punkt P indenfor en af Minimumscirklerne. De 

 Overgangsstillinger, i hvilke der kan ske Ændring i Antallet af orthogonalt skærende 

 Krumningscirkler, er dels de Cirkler i Bundtet, der skærer de hyperoskulerende 

 Cirkler orthogonalt — og af dem findes to — dels de Cirkler, der skærer Hyperblen 

 orthogonalt. For at bestemme Antallet af de sidste, inverterer vi som for med P 

 som hiversionscentrum og faar derved en Kurve af fjerde Orden med P til Dobbelt- 



