13 377 



punkt. Fra P udgaar ingen Tangent til denne Kurve, den har ingen andre Dobbelt- 

 punkter og har ingen Infleksionspunkter. Men Formen af en saadan Kurve er 

 fuldstændig bestemt efter min tidligere Klassifikation, og til den udgaar der fra et 

 Punkt højest 4 Tangenter (se Fig. 5)*. Der findes altsaa i alt 6 Overgangsstillinger, 

 og heraf udledes som ovenfor, at Evolutens Orden enten maa være 4 eller 6. Men 

 den første Mulighed maa her udskydes ligesom ved den cykliske Ellipse. Man vil 

 nemlig se, at i hvert Fald den uendelig fjerne rette Linie skærer i 6 Punkter, idet 

 den vil være Spidstangent to Gange. Den uendelig fjerne rette Linie u kan nemlig 

 ikke have flere Punkter fællesmed Evoluten end de to U^ og U.^, der er Krumnings- 

 centrer til Hyperblens uendelig fjerne Punkter. Disse Punkter U^ og U.^ ligger i 

 Retninger, der er vinkelrette paa Asymptoternes Retninger. Ved i\ og f/j deles u 

 i to Dele; fra et Punkt af den ene Del udgaar to i det endelige liggende Tangenter 

 til Evoluten, fra et Punkt af den anden Del udgaar ingen saadan Tangent. Da nu 

 u maa berøre i U^ og U.,, thi Normalen i et uendelig fjernt Punkt af Hyperblen 

 er selv uendelig fjern, følger heraf, at U^ og Uo maa være Spidser med u til fælles 

 Spidstangent (som ved en algebraisk Hyperbel). 



Det samme kan ogsaa ses ved den Side 9 nævnte Hjælpesætning, da Billedel 

 af en Rumkurve faar en Spids, naar Øjepunktet ligger paa en Tangent til 

 Kurven. At U^ og U., ligger uendelig fjernt i Retninger, der er vinkelrette paa 

 Asymptoternes Retninger, følger efter denne Metode deraf, at konjugerede Tangenter 

 til en Kugle staar vinkelret paa hinanden. 



Vi har altsaa vist: 

 (18) Evoluten til enhver cyklisk Hyperbel er af Ordenen 6. 



Af denne Sætning udleder man ligesom ved Ellipsen, at Klassen maa være 

 4 eller 6. Men her kan man i Modsætning til Forholdene ved den cykliske Ellipse 

 vise, at Klassen maa være 4 i alle Tilfælde. Lad os lægge Figuren saaledes, at 

 man kan sige, at den ene Pseudogren af Hyperblen ligger tilhøjre, den anden 

 tilvenstre; dette kan f. Eks. ske ved, at vi lægger den Halveringslinie x af Asym- 

 ptotevinklen, der skærer Hyperblen, i en vandret Stilling. Minimumscirklerne ligger 

 helt indeni hver sin Gren, og man kan derfor utvetydig sige, at Spidsen A for 

 Evoluten til den højre Pseudogren vender tilvenstre, og at den anden Spids B vender 

 tilhøjre. Efter vort Valg af Betegnelser vil retvinklet Projektion af BA paa x gaa 

 tilhøjre. De uendelig fjerne Punkter af Evoluten ligger nu i Retninger, der er vinkel- 

 rette paa Asymptoternes Retninger. Lad os projicere BA i disse Retninger ind paa .r. 

 Da de to Retninger er symmetriske med Hensyn til x, vil Projektionen af ßA for 

 mindst én af disse Retninger gaa tilhøjre. Lad (/i angive en Retning, hvor dette 

 sikkert finder Sted. 



Gennem t/j kan ikke gaa andre Tangenter end u, thi til en Hyperbel gaar 

 ikke andre Tangenter i Asymptotens Retning end selve Asymptoten. Drejer man 

 nu en ret Linie m om U^, idet den har u til Begyndelsesslilling, vil den til at 

 begynde med kun skære Evoluten i to Punkter, det ene i Nærheden af U^, det andet i 



* Se. Om Ikke-analytiske Kurver, Kgl. D.Vidensk. Selsk. Skrifter, Naturv. og Math. Afd. I. (>, S. 304(16). 



