378 14 



Nærheden af U.,- En Ændring i Antallet af Skæringspunkter mellem m og Kurven 

 kan, da der fra U^ ikke udgaar nogen Tangent, kun ske derved, at m overskrider en 

 Forbindelseslinie mellem {'i og en af Kurvens to Spidser. Men betragter man nu Figuren, 

 og lader Linien bevæge sig parallelt med sig selv stadig lilvenslre, vil den først Iræffe den 

 Spids A, der tiører til den højre Pseudogren, og den Spids vender tilvenstre; der vil 

 derfor tabes to Skæringspunkter derved, at m overskrider Stillingen U^A; disse vil 

 vindes igen, naar ni overskrider Forbindelseslinien mellem U^ og den anden Spids. 

 Enhver gennem U^ gaaende Linie skærer altsaa Kurven i højest 2 Punkter foruden 

 i selve f/j. 



Lad nu P være et vilkaarligt Punkt i Planen, og lad os forbinde P med f/j 

 med en ret Linie in. Gennemløber et Punkt M Linien fra U^ til P, vil der, naar 

 M er nær ved U^ (d.v. s. naar M endnu ikke har overskredet Evoluten) gennem M 

 kun gaa 2 Tangenter til denne. Dette Antal kan ved M's Bevægelse højest vokse 

 til 4, da man altid kan vælge en saadan Del P U ^ af ni, at der paa den ligger 

 intet eller højest ét Skæringspunkt med Evoluten. Man har altsaa her: 

 (19) Evoluten til en cyklisk Hyperbel er altid af Klasse 4. 



V^i vil til Slutning endnu betragte den simple cykliske Parabel. Dens Evolut 

 kan kun have ét Punkt U fælles med den uendelig fjerne rette Linie ii, nemlig 

 Krumningscentret i Parablens uendelig fjerne Punkt. Tangenten i V er u, og vi 

 kan vise, at ii maa være en Vendetangent. Fra hvert fra U forskelligt Punkt 

 af II udgaar nemlig én og kun én i det endelige liggende Tangent til Evoluten, 

 fra U selv ingen saadan Tangent. Deraf følger, at u enten maa være en Vende- 

 tangent eller en sædvanlig Tangent. Men Evoluten, der altsaa har én og kun én 

 Spids, maa være af ulige Klasse, og hvis ii var en sædvanlig Tangent, vilde der 

 fra et Punkt i Nærheden af u (men ikke i Nærheden af U) udgaa to Tangenter 

 til Evoluten; dette viser, at ii maa være en Vendetagent. Dette kan ogsaa udledes 

 ved Hjælpesætningen Side 9; Projektionen af en Rumkurve vil nemlig, naar 

 Projektionscentret P ligger i Røringspunktet for en stationær Oskulationsplan, faa 

 et Infleksionspunkt i Sporet af Kurvens Tangent i P. 



Vi begynder nu som før med at søge det højeste Antal af de Krumningscirkler, 

 der kan skære en given Cirkel x orthogonalt, og betragter i den Anledning et 

 Cirkelbundt [fj) bestemt ved x og en Nulcirkel, hvis Centrum ligger indeni Parab- 

 lens hyperoskulerende Cirkel. Varierer n ud fra Nulcirklen, vil Opgaven til at 

 begynde med ikke have nogen Løsning. Stillinger af n, hvor der vindes eller 

 tabes to Løsninger, er saadanne, hvor fi skærer orthogonalt enten den hypero- 

 skulerende Cirkel — hvilket giver 1 Mulighed — eller Parablen. For at finde 

 Antallet af de sidstnævnte Cirkler inverteres Parablen med P som Inversionscentrum; 

 derved faar man som bekendt efter Theorien for inverse Kurver en Kurve af 

 fjerde Orden uden Vendetangenter og med en Spids, hvorigennem der ikke gaar 

 nogen Tangent til Kurven. En saadan Kurve kan i Overensstemmelse med min 

 tidligere Enumeration ikke være nogen anden end den, der er fremstillet i Fig. (6), 

 og den er af 3die Klasse. Man faar altsaa i alt fire Overgangscirkler. Heraf udledes 

 paa samme Maade som i de ovenstaaende Tilfælde, at en Cirkel x højest kan skære 



