15 379 



4 Krumningscirkler til Parablen orlhogonalt. Lader man u være en ret Linie, erin- 

 dres om, at en i det endelige liggende ret Linie maa opfattes som Orlhogonaicirkel 

 til den uendelig fjerne rette Linie regnet dobbelt; dette ses ved Inversion at følge 

 af, at en Cirkel er orthogonal til en Nulcirkel, hvis Centrum ligger paa den først- 

 nævnte Cirkel. Men den uendelig fjerne rette Linie regnet dobbelt er en speciel 

 Krumningscirkel til Parablen. En ret Linie kan altsaa højest have 3 Punkter fælles 

 med Evoluten; denne, der er af 3die Orden og bar en Spids, maa være af 3die Klasse o: 



(20) En almindelig cyklisk Parabels Evolut er af 3die Orden og 3die 

 Klasse. 



At der eksisterer ikke algebraiske cykliske Parabler og Hyperbler, følger af, 

 al enhver lukket Kurve, hvis Evolut er bestemt som angivet ovenfor, maa være 

 cyklisk. Dette bevises som Sætning (17). 



Vi vil nu se, hvad der af det foregaaende kan udledes om Kurver af fjerde 

 Orden beliggende paa en Kugle. Det forudsættes om disse Kurver, at deres Projek- 

 tioner er simple Kurver i den S. 1 givne Forstand. 



Ved stereografisk Projektion gaar Rumkurven over i en plan cyklisk Kurve. 

 Da denne har 4 hyperoskuierende Cirkler, naar Kurven hverken har Dobbelt- 

 punkter eller gaar i det uendelige, faar man: 



(21) En sammenhængende Kurve af fjerde Orden uden Dobbeltpunkter 

 beliggende paa en Kugle — eller en vilkaarlig konveks Kegle- 

 snitsflade — har 4 hyperoskuierende Planer. Har Kurven et 

 Dobbeltpunkt, findes kun 2 saadanne. 



Da der gennem et vilkaarligt Punkt i en cyklisk Kurves Plan højest gaar 4 

 Krumningscirkler og ifølge (8) og (14) højest to dobbeltrørende Cirkler, faar man: 



(22) Til en sammenhængende Kurve af fjerde Orden uden Dobbelt- 

 punkter beliggende paa en konveks Keglesnitsflade gaar gennem 

 et vilkaarligt Punkt af selve Fladen højest 4 Oskulationsp låner 

 og højest 2 Tangentplaner til den dobbelt omskrevne Developable. 



Nøjere Bestemmelse af Klassen har jeg kun naaet ved de sfæriske Kurver, der 

 er inverse til Kurver af anden Orden. Til denne Art hører enhver sfærisk Kurve 

 af fjerde Orden med et Dobbeltpunkt, thi fra dette vil Kurven projiceres ved en 

 Kegleflade af anden Orden. Vi vil først finde det højeste Antal af Oskulations- 

 planer, der kan gaa gennem et Punkt P udenfor Kuglen. Lad Polarplanen til P 

 skære Kuglen i en Cirkel x\ de gennem P gaaende Oskulationsplaner vil da skære 

 Kuglen i Cirkler, der er orthogonale til x. Da nu Vinkler overføres uforandrede 

 ved stereografisk Afbildning, kan man af det tidligere (se Beviset for 15)) udlede, 

 at der gennem P gaar højest 6 Oskulationsplaner; tillige har vi i det foregaaende 

 vist, at dette højeste Antal kan naas for mindst ét Punkt P. 



Vi mangler blot endnu at tage Hensyn til Punkter indenfor Kuglefladen. 

 Ændring i Antallet af Oskulationsplaner gaaende gennem et Punkt P kan nu, idet 

 P bevæger sig kontinuert f. Eks. langs en ret Linie, kun ske ved, at P enten over- 

 skrider Kurvens Tangentflade eller overskrider en af Kurvens hyperoskuierende 



