380 16 



Planer. Men Tangenterne kan ikke gaa ind i Kuglen, saa vi behøver kun at tage 

 Hensyn til den sidstnævnte Mulighed. Men de to hyperoskulerende Cirkler til den 

 cykliske Hyperbel, hvori Rumkurven projiceres stereografisk fra Dobbeltpunktet, 

 ligger udenfor hinanden. De dertil svarende Hyperoskulationsplaner niaa derfor 

 have en Skæringslinie, der ligger udenfor Kuglen. Forbindes nu P med et Punkt 

 Q af denne Linie med en ret Linie, vil man langs denne kunne naa til Kuglens 

 Overflade uden at skære nogen Oskulationsplan. Fra et vilkaarligt Punkt indeni 

 Kuglen kan der altsaa højest udgaa to oskulerende Planer. Vi har altsaa bevist: 



(23) En Kurve af fjerde Orden, som ligger paa en konveks Keglesnits- 

 flade og har et Dobbelt punkt, maa være af Klassen 6. 



Samme Resultat kan man faa, naar Kurven kan projiceres stereografisk i en 

 cyklisk Ellipse. Her findes 4 hyperoskulerende Planer, men man kan i Henhold 

 til ovenstaaende altid finde to af disse, hvis Skæringslinie s ligger udenfor Kuglen, 

 og forbinder man P med Skæringspunktet Q mellem s og en af de øvrige Hyper- 

 oskulationsplaner, ser man, at der i dette Tilfælde ikke kan gaa flere end 4 (Jskula- 

 tionsplaner gennem et Punkt indeni Kuglen. 



Projiceres Rumkurven stereografisk i en cyklisk Parabel, har den en Spids. 

 Man kan da let ved de samme Slutninger som ovenfor udlede: 



(24) En Kurve af fjerde Orden, som ligger paa en konveks Keglesnits- 

 flade og har en Spids, maa være af fjerde Klasse. 



Det vil ikke være til nogen Nytte at søge det højeste Antal af Dobbeltsekanter 

 til en sfærisk Rumkurve af 4de Orden, der kan gaa gennem et givet Punkt. Man 

 kan nemlig i et Eksempel vise, at dette Antal kan blive saa stort, det skal være. 

 Lad os begynde med at konstruere en cyklisk Ellipse, der er symmetrisk om en 

 lad os sige vandret Akse. Dennes Evolut er, da ogsaa symmetrisk om samme 

 Akse. Lad Punkter af denne, der ligger symmetrisk med Hensyn til Aksen, være 

 Pi P} , P, PJ ...PnPh- Vi lader nu den øverste Del af Evoluten indeholdende 

 Punkterne P^ ■ ■ ■ Pn uforandret, medens vi ændrer paa den nederste, dog saaledes, 

 at Punkterne PlP},...Pn samt Tangenterne i disse Punkter forbliver uforandrede. 

 Men en Bue mellem to paa hinanden følgende Punkter P ændrer vi saaledes, at 

 at den vedbliver at være en elementær Bue med de samme Endetangenter, og at 

 dens Længde forbliver uforandret, og endelig saaledes, at hele Evoluten 

 forbliver af fjerde Klasse. Dette er øjensynlig muligt; Evoluten er nu ikke længere 

 selv symmetrisk om Aksen. En Oval-Evolvente til den ændrede Ellipseevolut maa 

 nu i Henhold til det foregaaende atter være en cyklisk Ellipse, og den indeholder 2n 

 Punkter PjPJ, P,P\...PnP,\, der ligger parvis symmetrisk med Hensyn til en 

 Akse, der dog ikke er en Symmetriakse for Kurven. Tager man nu en stereografisk 

 Projektion af denne Oval fra et Punkt O ind paa en Kugle, faar man en Rumkurve 

 af fjerde Orden. Planen gennem O og den ovennævnte Akse har med Hensyn til 

 Kuglen en Pol S. Gennem dette Punkt gaar alle Forbindelseslinierne mellem de 

 Par af Punkter, hvori P^P\, P^P\ . ..PnPn projiceres, uden at S er Toppunktet 

 for en Kegle af anden Orden indeholdende Kurven. 



