RESUME. 



r ar courbe simple je comprends une courbe fermée (dans le sens iirojectif) composée 

 d'un nombre fini d'arcs élémentaires. Un arc élémentaire est un arc continue dont les tangentes 

 et les rayons de courbure varient d'une manière continue le long de la courbe et qu'une 

 droite arbitraire rencontre en deux points au plus. Nous supposerons en outre que les 

 rayons de courbure (pour un point à une distance finie) ne sont infinis que pour les points 

 d'inflexion et nuls que pour les points de rebroussement; ces points sont nécessairement des 

 [joints communs à deux arcs consécutifs. 



Mon but est d'étudier les courbes simples rencontrées par un cercle en quatre points 

 au plus. Ces courbes, je les appelle cycliques. 



Comme une droite quelconque jointe à la droite à l'infini est un cercle spécial, nne 

 courbe cyclique sera du quatrième, du troisième ou du deuxième ordre, c'est-à-dire qu'elle 

 sera coupée par une droite arbitraire en 2, 3 au 4 points ou plus. 



On voit aussitôt qu'une courbe cyclique peut avoir un point double au plus. Une courbe 

 cyclique du quatrième ordre doit rester dans la partie finie du plan; une courbe du troisième 

 ordre aura un seul point à l'infini, mais une courbe du deuxième ordre aura 0, 1 ou 2 points 

 à l'infini. Suivant ces cas, nous appellerons une courbe cyclique simple du deuxième ordre, 

 une ellipse, une parabole ou une hyperbole cyclique. 



Cherchons maintenant les sommets d'une courbe cj'clique, c'est-à-dire les points où la 

 courbe est rencontrée par un cercle en quatre points confondus. On trouvera: 



Chaque courbe simple cyclique sans points doubles et sans points à l'infini 

 aura quatre sommets. 



Pour le démontrer, on considère la correspondance (3—1) entre les points R de la courbe 

 et les points P où la courbe est rencontrée de nouveau pas les cercles osculateurs en R\ Les 

 1 +3 = 4 points doubles de la correspondance donnent les quatre sommets. 



Dans les cas exclus dans ce théorème on démontre d'une manière analogue que: 



Une cyclique du troisième ordre sans points doubles aura quatre sommets. 



' Ici et souvent dans ce qui suit je in'appuie sur le principe suivant: Si sur une courbe fermée 

 on suppose entre deux points X et V uûe correspondance (p, q) où deux points Y (ou X) correspondants 

 au même points X (ou Y) ne peuvent jamais se confondre et si les deux sens de X et Y correspondants 

 sont contraires, alors on aura p^ q points correspondants qui se confondent (points doubles). 



Dans chaque cas il faut une discussion détaillée de la figure pour s'assurer que les conditions 

 mentionnées sont remplies. Dans ce résumé succinct, nous avons supprimé cette discussion souvent 

 pénible. 



D. K. I). VidcnsU. Selsli. Sltr.. 7. Ræklic. n:iturviilcnsli. niJ ni.'ithom. Aid. VIII. 6. SO 



