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Une cyclique du troisième ou du qualrième ordre à un point double et de 

 même une ellipse ou une hyperbole cyclique auront deux sommets, mais une 

 parabole n'en aura qu'un. 



11 est l'acile de voir que deux cercles osculateurs à la courbe en deux points réunis par 

 un arc de la courbe ne contenant aucun sommet seront situés l'un dans l'intérieur de l'autre. 

 Par conséquent, si A et 5 sont deux sommets consécutifs sur la courbe, on ne pourra faire 

 passer par un point arbitraire du plan plus d un des cercles osculateurs à cet arc. 

 On en déduit en supposant le point à l'infini: 



Une c o u r i) e cyclique du quatrième ordre sans point do u b 1 e a u r a deux o u 

 quatre jioints d'inflexions, mais si la courbe a un ])oint double il y en aura 

 deux ou aucun. 



De la théorie générale des courbes simples du quatrième ordre on déduit;' 



Une courbe cyclique du quatrième ordre aura un ou deux tangentes doubles. 



Alors les formes des courbes cycliques du quatrième ordre sont celles des fîg. 3—8. 



En considérant les points variables M^ et M, où la courbe est rencontrée par un cercle tangent 

 à la courbe en un point fixe, on a entre M^ et M 2 une correspondance (1, 1). On en déduit: 



A chaque courbe cyclique appartiennent en général deux system es distincts 

 de cercles doublement tangents à la courbe; seulement la parabole n'en a qu'un. 



Dans ce qui suit nous nous bornerons aux courbes cycliques du deuxième ordre, prin- 

 cipalement pour en étudier les développées. Il résulte de ce qui précède que la développée 

 d'une ellipse cyclique aura quatre, d'une hyperbole deux et d'une parabole un point de 

 rebroussenicnt (correspondant au nombre de sommets). 



Si un cercle est tangent en M et A^ à une ellipse cyclique et si les tangentes en M et P 

 sont parallèles entre elles on aura entre A^ et P une correspondance (2,2); on en déduit: 



Une ellipse cyclique aura deux normales doubles. 



Quant à l'hyjjcrbole, une discussion un peu i)lus détaillée est nécessaire, mais la même 

 méthode s'apijliquera et on trouvera: 



Une hyperbole cyclique aura une normale double; — une parabole n'en aura 

 aucune. 



Les normales doubles des courbes algébriques passent par les sommets, mais cela n'a 

 pas lieu en général. 



Pour trouver l'ordre de la développée, je commence par chercher le nombre des cercles 

 osculateurs à la courbe qui coupent orthogonalement un cercle donné a. Si l'on fait varier 

 un cercle /-i dans un faisceau contenant a, le nombre cherché ne s'altérera que dans les cas où 

 ß coupe orthogonalement soit le cercle osculateur en un sommet soit la courbe donnée. En 

 s'ajjpuyant sur cette remarque on trouve qu'il y a 6 cercles au plus qui coupent a ortho- 

 gonalement. En sup])osant enfin a réduit à une droite on aura; 



L'ordre de la développée d'une ellipse ou d'une hyperbole cycliques est 6; 

 mais celui d'une parabole cyclique est 3. 



Maintenant on est à même de chercher la classe de la développée et l'on trouve; 



La développée d'une ellipse cyclique est de la quatrième ou de la sixième 

 classe. 



Il y a là une différence essentielle entre l'ellipse algébrique et l'ellipse cyclique, l'ordre 

 de la développée de la première de ces courbes étant toujours 4. 



Les deux formes possibles de la développée se trouvent aux fîg. 1 et 9. 



On peut encore démontrer; 



Chaque courbe simple dont la développée est de la quatrième classe sera 

 cyclique. 



1 Voir Det Kgl. danske Vidensk. Selsk. Skrifter 6, sér. X, 1 : Indledning i Læren om grafiske Kurver. 



