7 301 



parvis maa have samme Linie tilSpidstangent; Kurven har ingen andre 

 Singula riteter. 



Med den nye Vedtægt gælder det nemlig som tidligere, at der gennem et 

 Dobbeltpunkt eller en Spids O kun kan gaa to Linier, der udenfor O skærer i to 

 sammenfaldende Punkter. Men man maa erindre, at nu gælder Røringspunktet for 

 en gennem O gaaende Spidstangent ikke for sammenfaldende Punkter, men der- 

 imod som før en Spids O,, saafremt Linien 00^ ikke er Tangent i Oj. Nu er det 

 øjensynligt, at Kurven ikke kan have en og samme Linie til Spidstangent i tre for- 

 skellige Punkter. Der kan derfor, naar OOi berører i Oj, højest findes to Spidser 

 forskellige fra O og O,. Da man paa samme Maade ser, at OOi maa va-re Spids- 

 tangent i O, er Sætningen bevist; dens sidste Del følger nemlig af det tidligere. 



Vi har endnu tilbage at betragte den Mulighed, at en ret Linie a tre Gange 

 kan have sammenfaldende Punkter fælles med Kurven. Det er øjensynligt, at a 

 hverken kan være Spidstangent eller Vendetangent i noget af disse Punkter; den 

 maa enten 3 Gange være sædvanlig Tangent eller den maa indeholde 1, 2 eller 3 

 Spidser. Vi kan med en fælles Benævnelse sige, at Kurven har en tredobbelt Tan- 

 gent. Man har nu: 



Naar en Kurve af fjerde Orden har en tredobbelt Tangent a, kan (2) 

 der ikke findes nogen anden ret Linie b, der to eller flere Gange 

 skærer Kurven i sammenfaldende Punkter (efter den tidligere Vedtægt). 



Derved, at b f. Eks. i B skærer i sammenfaldende Punkter, skal i denne F^or- 

 bindelse forstaas, at man ved at dreje b om et af sine Punkter, der er forskelligt 

 fra B, faar adskilte Skæringspunkter med Kurven ved at dreje en lille Vinkel til 

 den ene Side, medens disse forsvinder, naar man drejer om samme Punkt en lille 

 Vinkel til den modsatte Side. Lad nu først b to og kun to Gange have sammen- 

 faldende Punkter B^ og B^ fælles med Kurven. Ved at dreje b en lille Vinkel om 

 et Punkt, der enten ligger paa det endelige Liniestykke B^ B., eller paa dettes For- 

 længelse, kan man altid skaffe sig en ret Linie fe,, der ikke har noget Punkt fælles 

 med Kurven. Omprojiceres nu denne saaledes, at bj falder uendelig fjernt, kommer 

 Kurven til at falde helt i det endelige. Men en saadan Kurve kan ikke have nogen 

 tredobbelt Tangent. Alle de Buer, der lad os sige i A,, Aj, A.^ støder op til a, maa 

 nemlig her ligge i samme Halvplan begrænset af a, og ved at dreje a om et saa- 

 dant af dens Punkter, der ikke ligger i de endelige Stykker A, Aj og Aj A.^, en 

 lille Vinkel ind i denne Halvplan, vilde man faa en ret Linie, der skar Kurven i 

 6 Punkter. 



Linien b kan altsaa ikke være Dobbelttangent, dette Ord taget i sin oven- 

 nævnte udvidede Betydning. Men den kan heller ikke \æve en fra o forskellig tre- 

 dobbelt Tangent. Af de tre Buer, der stoder op til b, maa nemlig i Overensstem- 

 melse med det nysnævnte de to af Buerne «j og «^ ligge paa den ene Side af a, 

 medens den tredie «., ligger paa den anden Side. Giver man dernæst «., en lille 

 Ændring, der ikke forandrer Kurvens Orden, idel vi sorger for, at den ikke derved 



