302 



8 



kommer til at skære b, vil man kunne faa en Kurve med en tiedol)beU Tangent b 

 og en Dobbelllangent a, hvilket er vist at være umuligt. 



Ved den nævnte lille Ændring af en Bue berørende a udieder man altsaa af 

 den oprindelige en ny Kurve af fjerde Orden, der ikke har andre Dobbelttangenter 

 end de tre, der er fælles for Bueparrene: «i og a.^, a, og a.^, a^ og a^. Omvendt 

 ser man, at alle Former for Kurver af tjerde Orden med en tredobbelt Tangent maa 

 kunne faas som Grænseformer for Kurver med tre og kun tre Dobbelttangenter, idet 

 disse konvergerer mod at falde sammen. Vi vil først lade disse Dobbelttangenler 

 være sædvanlige, idet de Former, hvor en Tangent erstattes med en Linie gennem en 

 Spids, er lette at udlede af de fundne. 



Fig. 8. 



Fia. y. 



Fig. 10. 



Fig 11. Fig. 12. Fig. 13. 



Af Kurver med 3 Dobbelttangenter findes nu kun følgende: 



1. Kurven af første Type uden Dobbellpunkter og med tre hifleksionspar. 



2. Kurven af anden Type med 3 Dobbelipunkler og ingen Vendetangenter. 



3. Kurven af anden Type med ét Dobbeltpunkt og to Infleksionspar. 



4. Kurven af fjerde Type med 3 Sløjfer uden Infleksionspar. 



5. Kurven af fjerde Type med ét Dobbeltpunkt, ét Infleksionspar og to iso- 

 lerede Vendetangenter. 



6. Kurven af fjerde Type med 2 Dobbeltpunkter, intet Infleksionspar og to 

 isolerede Vendetangenter. 



Om nu virkelig hver af disse eneste Muligheder giver Anledning til en Kurve 

 med en tredobbelt Tangent, maa undersøges direkte, og Figurerne viser tilstrække- 

 ligt, at det er Tilfældet. De findes angivne Fig. 8—13. 



Røringspunkterne med den tredobbelte Tangent kan erstattes med Spidser; 

 Muligheden heraf illustreres tilstrækkeligt ved den punklerede Kurve i Fig. 8. 



Den oprindelige Opfattelse, hvorefter fælles Punkter regnes med Multii)licilel, 

 er dog ubetinget baade den naturligste og den fordelagtigste, og det er tien, vi i 

 det følgende paany ubetinget vil fastholde baade i Planen og i Rummet. 



