304 10 



disse maa være Nabolinie til den uegentlige Tangent PO til G. Lad os antage, at 

 dette ikke er Tilfældet, saa at der fra P udgaar 6 egentlige Tangenter saavel til G 

 som til G'. Flytter P sig nu i J f. Eks. langs en ret Linie /, indtil det naar a, vil 

 to og kun to af de Tangenter, der udgaar fra P til G' falde i a, og flytter P sig 

 videre til P^ langs /, dog ikke saanieget, at Kurven eller nogen af de andre Vende- 

 tangenter overskrides, vil der gennem P, gaa 4 egentlige Tangenier til G' og altsaa 

 ogsaa til G. Men ved at overskride a kan der af Tangenter fra P til G kun tabes 

 én egentlig Tangent, og der skulde dereftei' udgaa 5 egentlige Tangenter fra Pj til G, 

 hvilket er i Modstrid med det forrige. Fra et Punkt af J kan der altsaa kun ud- 

 gaa 5 egentlige Tangenter til G. 



Ifald G' er af Klassen 4, maa G selvfølgelig være af samme Klasse. At Klassen 

 nu virkelig kan være baade 5 og 4, ses let af en F"igur, naar man erindrer, at der 

 eksisterer fuldstændig kontinuerte Kurver af tredie Orden baade af sjette og af 

 fjerde Klasse. 



Klassen af en Kurve paavirkes selvfølgelig ikke af et fremspringende Punkt af 

 tredie Art (en Top); Klassen er altsaa 6 eller 4. Hvis Kurven har el Dobbeltpunkt, 

 er Klassen 4, hvadenten Kurven er fuldstændig kontinuert eller ikke. 



Vi vil nu gaa over til Spørgsmaalet om Klassen af Kurver af fjerde Orden, dog 

 med en væsentlig Indskrænkning. Med Undtagelse af Kurverne af tredie Type kan 

 nemlig Kurven have et vilkaarligt Antal af hvad vi i det foregaaende har kaldt 

 Infleksionspar. Den simpleste Typeform faar man ved helt at udelade Infleksions- 

 parrene, og den derved bestemte vil vi kalde Typens Grundform. Nu er det 

 vel ikke ugørligt ogsaa at sige noget om Klassen, selv om der kan findes Inflek- 

 sionspar, men her vil vi alene holde os til Grundformerne. Har Kurven intet 

 Dobbeltpunkt, er Grundformen af anden Orden og Klasse; Spørgsmaalet i den her 

 stillede Form har altsaa kun Interesse for Kurver med Dobbeltpunkter. 



Lad os først betragte Kurven af anden Type, hvor der ikke 

 fra et Dobbeltpunkt udgaar nogen Tangent og hvor der ikke findes 

 nogen isoleret Vendetangent; paa Grundformen vil der altsaa i det 

 hele ingen Vendetangenter findes. Fra et Punkt M af en Kurvebue a, 

 der gaar fra et Dobbeltpunkt A til det næste Dobbeltpunkt B, vil 

 der da ikke kunne udgaa flere end to Tangenter'), naar M ligger 

 nær ved A. Men dette Antal kan ikke forandres ved at M gennem- 

 løber hele a, da Kurven ikke har Vendetangenter. Fra et vilkaarligt Punkt M af 

 Kurven udgaar altsaa højst 2 Tangenter. Men fra et vilkaarligt Punkt P i Planen 

 vil der da ikke kunne udgaa flere end 4, da man altid vil kunne komme fra P til 

 et Kurvepunkt M uden undervejs at overskride Kurven. Man har altsaa i dette Til- 

 fælde Klassen A- = 4, og denne højere Grænse kan selvfølgelig naas: o: Grund- 

 (3) formen for en Kurve af fjerde Orden og anden Type er af fjerde Klasse. 

 Lad os nu betragte Kurven af tredie Type; den er sammensat af Pseudo- 



') Foruden Tangenten i selve Punktet. Denne Tilføjelse vil ogsaa i det folgentlc hj-ppigt udelades, 

 naar der ikke derved svnes at kunne medfares Misforstaaelser. 



