11 305 



grene') af tredie Orden, og vi vil først tage Hensyn til del Tilfælde, hvor Kurven 

 kun har to Dobbeltpunkter A og B. Lad de fire Buer, hvori Kurven deles af disse 

 Punkter, være a, ß, y, o, idet vi gennemløber Kurven i en aldeles bestemt Retning 

 (sé Fig. 3). Enhver af disse Buer sammen med en af de tilstødende — f. Eks. uß og ad 

 — vil da efter den tidligere Teori danne en Kurve af tredie Orden med et fremsprin- 

 gende Punkt. Dette kan i hvert af Punkterne A og ß være enten af første, anden 

 eller tredie Art. Lad os først antage, at ikke begge fremspringende Punkter er 

 af anden Art. Det vil da være muligt at dele Kurven i to korresponderende Pseudo- 

 grene af tredie Orden, lad os sige aß og yd, hvoraf den ene, aß, bar et frems])rin- 

 gende Punkt af første Art, den anden et af tredie Art. Fra et vilkaarligt Punkt i 

 Planen kan der da ifølge (1) til aß højest udgaa 3, til yd højest 6 Tangenter, til 

 den samlede Kurve altsaa paa den Maade højest 9. Men Antallet maa være lige, 

 da Kurven har et lige Antal Vendetangenter (nemlig 4). Klassen kan derfor højest 

 være 8. En Figur vil nu let vise, at Klassen kan være enten 8 eller 6; at den ikke 

 kan synke til 4, ses ved at betragte Antallet af Tangenter fra et Punkt, der ligger 

 nær ved et af Dobbeltpunkterne. 



Lad os dernæst antage, at alle Pseudogrenene har et fremspringende Punkt af 

 anden Art. Til to korresponderende Pseudogrene, f. Eks. aß og yd, kunde der altsaa 

 paa den Maade sel tænkes at udgaa 5 -|- 5 = 10 Tangenter. Men Antallet kan i 

 Virkeligheden ikke blive saa stort. Lad os antage, at Pseudogrenen (aß) i et Snabel- 

 punkt A har en Tangent a, der ved Afrundingen gaar over til en Vendetangent. 

 Skal der fra el Punkt P i Planen udgaa 5 Tangenter til (aß), maa det ligge i en 

 Trekant J dannet af a og de to (andre) Vendetangenter til (a/9). Flytter man nu 

 Punktet P, der oprindelig tænkes at ligge i J, langs en Linie / hen i en ny Stilling 

 P,, saaledes at P under sin Bevægelse hverken har overskredet Kurven eller nogen 

 fra a forskellig Vendetangent til (aß), medens a tænkes overskredet, vil der nu 

 ifølge Beviset fra (2) fra Pj udgaa 4 Tangenter til (aß). Fra det samme Punkt kan 

 der endvidere til (yd) højest udgaa 5 Tangenter, til den samlede Kurve G^ = (aß) 

 -\-{yd) altsaa højest 9 Tangenter. Men Antallet af Tangenter til Kurven G* fra P 

 og Pj maa være det samme, thi for hele Kurven G* er a kun en sædvanlig Tan- 

 gent, saa at der ved at overskride den ikke kan ske nogen Ændring i Antallet af 

 Tangenter fra et Punkt. Man ser herved, at del højeste Antal af Tangenter fra et 

 Punkt til Kurven er 8. Af en Figur ser man nu, al dette Antal virkelig naas, men 

 at Klassen dog ogsaa kan være 6; at den ikke kan være 4, ses som ovenfor. Man 

 har altsaa: 



En Kurve af fj er de Orden uden Dobbelttangenter og med to Dob- (4) 

 beltpunkter vil være af Klasse 8 eller 6. 



Af Kurver af tredie Type med 3 Dobbeltpunkter vil vi først tage den, hvor 

 intet fremspringende Punkt paa en Pseudogren af ulige Orden ligger paa en af 

 dennes Sløjfer. Lad C være det Dobbeltpunkt, der hører til Sløjfen, medens Kurven 



') Jeg vil nu bruge dette Udtryk, hvor jeg i „Indledning" brugte Grene. To Pseudogrene. der til- 

 sammen bestemmer hele Kurven, skal her kaldes korresponderende. 



40- 



