306 12 



som for ved de lo andre Dobbeltpunkter A og B deles i 4 paa hinanden følgende 

 Buer u, ß, y og â, og lad os antage, al C falder paa « (sé Fig. 2). Den Slulnings- 

 niaade, vi ovenfor anvendte for Kurver med to Dobbeltpunkter, synes atter at føre 

 til 8 som den højere Grænse for Klassen. Men vi kan ad anden Vej udlede, at 

 Klassen maa være 6; et saadant Bevis er det dog kun nødvendigt at føre i de Til- 

 fælde, hvor alle fremspringende Punkter i A og B er Snabler. 



Vi vil begynde med at finde Antallet af de Tangenter, der udgaar fra et Punkt 

 M af selve Kurven; det er i den Anledning kun nødvendigt at finde Antallet, dels 

 naar M falder i et Dobbellpunkt, dels naar M falder i et Skæringspunkt mellem 

 Kurven og en af dens Vendetangenter, thi kun i et af disse Punkter kan der ské 

 Ændring i Antallet. Fra et af Punkterne A eller B udgaar der nu 2 Tangenter, 

 der ikke berører i A eller B, og fra C udgaar ingen Tangent, der ikke berører i C. 

 Vi maa dernæst undersøge Beliggenheden af de Punkter S, og S^, hvori Kurven 

 skæres af dens to Vendetangenter w^ og w^- Da aß og aå danner Kurver af tredie 

 Orden med Dobbeltpunkt og med fremspringende Punkter af anden Art i (lad os 

 sige) henholdsvis A og B, maa begge Kurvers Intleksionspunkter ligge paa y, og da 

 ligeledes yß og yâ danner Kurver af tredie Orden, maa Skæringspunkterne S, og 

 Sj begge ligge paa «, og aabenbart ikke paa a's Sløjfe. Fra et Punkt M af Sløjfen 

 kan nu ikke udgaa nogen Tangent /, thi da aß og ad danner Kurver af tredie Or- 

 den, maatte Røringspunktet ligge paa ;-, og da yß og yd er Kurver af tredie Orden, 

 maatte / skære baade ß og d; en saadan Tangent eksisterer altsaa ikke. Lad nu et 

 Punkt M bevæge sig paa Kurven ud fra Sløjfen over C ind paa lad os sige Buen CA. 

 Derved, at M overskrider C, gaar man over fra O til 2 Tangenter gennem M 

 (foruden Tangenten i M). Ved at overskride el Punkt S^ kan man faa 4 Tangenter, 

 men ved eventuelt ogsaa at overskride S, (om dette er muligt, er del unødvendigt 

 al undersøge) kan man ikke faa 6 Tangenter (foruden Tangenten i M), thi ved at 

 gaa videre langs Buen til A skal man her ende med to Tangenter. Vi har altsaa 

 sét, at der fra intet Punkt af Kurven kan udgaa flere end 6 Tangenter, idet Tan- 

 genten i selve Punktet regnes to Gange med. For nu at sé, hvormange Tangenter 

 der kan udgaa fra et Punkt i Planen behøver man yderligere kun at sé, hvormange 

 Tangenter der kan udgaa fra et Punkt af en Vendetangent, thi kun i Kurven og i 

 en Vendetangent kan der ske Ændring i Antallet af Tangenter fra et bevægeligt 

 Punkt. Men ved at flytte et Punkt P langs en Vendetangent iv kan der kun ské 

 Ændring i Antallet af Tangenter ved at overskride enten S, eller Skæringspunktet 

 T hiellem w^ og iv^. Fra S^ udgaar alt iberegnet paa sædvanlig Maade 6 Tan- 

 genter, og dette Antal kan ikke blive S ved at overskride T, da man skal ende 

 med 4 Tangenier lige inden man atter naar 6',, ifald man, som vi forudsalte, paa 

 den anden Side af S, havde 6. At der virkelig kan findes 6 Tangenter gennem et 

 Punkt P, ses let ved at vælge P i Nærheden af et af Dobbeltpunkterne A eller B. 

 Tillige følger det af del udviklede, at der ikke kan udgaa nogen Tangent fra et 

 Punkt, der ligger indeni Slojfen. 



Ligger de to Dobbeltpunkter A og ß paa en Pseudogrens Sløjfe, maa hvert 



