13 307 



af disse Punkter paa Sløjfen være fremspringende af tredie Art. Af de to korre- 

 sponderende Pseudogrene, der hører til Dobbeltpunktet A, har den ene altsaa et 

 fremspringende Punkt af første Art, den anden en Sløjfe. Det højeste Antal af 

 Tangenter udgaaende fra et Punkt af Planen maa altsaa være det største lige Tal, 

 der er mindre end 3 -|- 4 = 7 ; Klassen er 6 (og som man straks ser, ikke 4). Fra 

 el Punkt indeni Sløjfen kan der ikke udgaa nogen Tangent. 



Vi har altsaa bevist: 



En Kurve a f f j e r d e Orden uden D o b b e 1 1 1 a n g e n t e r og med 3 Dob- (5) 

 b e 1 1 p u n k t e r er a f K 1 a s s e n 6. 



Ved Kurverne af fjerde Type (uden Intleksionspar) maa vi skelne mellem dem, 

 der har 2, og dem, der har 3 Sløjfer. Om de sidste har vi tidligere bevist, at der 

 fra hvert Punkt M af en Sløjfe udgaar én og kun én Tangent til hver af de andre 

 Sløjfer, og at der ingen andre Tangenter gaar gennem M foruden Tangenten i M. 

 Overskrider nu M ved at bevæge sig paa Kurven et Dobbeltpunkt O for at gaa 

 over paa den af tre elementære Buer dannede Restkurve, optræder 2 nye Kurvetan- 

 genler gennem M, da O paa Restkurven er fremspringende af første Art; dette Antal 

 ændres ikke, inden M paany naar et Dobbeltpunkt. 



Fra intet Punkt af Kurven udgaar altsaa flere end 4 Punkter (foruden Tan- 

 genten i selve Punktet). Da Kurven ikke har Vendetangenter, faar man altsaa: 



Grundformen for en Kurve af fjerde Orden med 3 Sløjfer er af (6) 

 Klassen 6. 



Naar Kurven har to Sløjfer, vil vi først forudsætte, at den har flere end to 

 Dobbeltpunkter. Der kan i saa Fald ikke paa nogen af Sløjferne, hverken de egent- 

 lige eller uegentlige, findes liere end et Inlleksionspunkl /; den tilhørende Vende- 

 tangent maa skære Kurven i et Punkt S af den Sløjfe, hvorpaa / ligger, da en 

 uegentlig Sløjfe for sig ogsaa er en kontinuert Kurve af fjerde Orden. Vi lader nu 

 et Punkt M gennemløbe en Sløjfe — egentlig eller uegentlig — fra et Dobbeltpunkt 

 A tilbage til A. Fra A udgaar to Tangenter (foruden Tangenterne i A), fra et nær- 

 liggende Punkt M paa en af de to Buer, der gaar gennem A, vil der da udgaa 4 

 Tangenter foruden Tangenten i M. Dette Anlal kan kun forandres ved, at M over- 

 skrider S, men herved kan Antallet af Tangenter gennem M ikke vokse til 6 (for- 

 uden Tangenten i M), thi naar M næste Gang kommer i Nærheden af et Dobbelt- 

 punkt — enten A eller det eventuelle andet Dobbeltpunkt paa Sløjfen — maa der 

 paany ské Overgang mellem 4 og 2 Tangenter (Tangenten i M ikke medregnet). 

 F'ra intet Punkt M af Kurven kan altsaa udgaa flere end 4 Tangenter foruden 

 Tangenten i M, og dette højeste Antal kan virkelig naas. Da Kurvens Grundform 

 kun har to Vendetangenter, kan man dernæst sé her aldeles som ved Kurven af 

 tredie Type med 2 Vendetangenter, at der heller ikke fra et Punkt P af en Vende- 

 tangent (og udenfor Kurven) kan udgaa flere end 6 Tangenter, naar selve Vende- 

 tangenten medregnes 2 Gange. Vi har altsaa bevist: 



Grundformen for en Kurve af fjerde Orden med 2 Sløjfer er af (7) 

 Klassen 6, naar Dobbeltpunkternes Antal er større end 2. 



