17 



311 



§4. 

 Sammensatte Kurver af fjerde Orden. Spredte Bemærkninger. 



Ved Undersøgelser over Udseendet af algebraiske Kurver af fjerde Orden ') 

 kommer det i høj Grad an paa at bestemme Antallet af forskellige Grene og disses 

 indbyrdes Beliggenhed. Ved den tilsvarende Undersøgelse over almindelige Kurver 

 af fjerde Orden maa derimod Vægten lægges paa Formen af en enkelt Gren, thi 

 Antallet af Grene er i og for sig ubegrænset. Dette kan man allerede se ved at 

 vælge ;i Punkter i Planen, hvoraf ikke tre ligger ud i ret Linie ; tilstrækkelig smaa 

 Ovaler omgivende disse Punkter vil aabenbart for enhver Værdi af n bestemme en 

 sammensat Kurve af fjerde Orden. Efter at Bestemmelsen af den enkelte Gren er 

 gjort færdig, kan man dog komme noget videre, idet man om enhver af de typiske 

 Former kan spørge, om den kan være en Gren af en sammensat Kurve af fjerde Orden. 



Naar der i de følgende Sætninger tales om en Gren, menes derved stadigt en 

 Gren af fjerde Orden. 



En Gren med mindst ét Dob belt punkt af første Art samt en Gren (1) 

 med 3 Do bb e 1 1 pu n kle r og 3 Sløjfer vil hver for sig danne en fuld- 

 stændig Kurve af fjerde Orden, d. v. s. til en af disse Former kan ingen ny 

 Gren føjes, uden at den sammensatte Kurves Orden bliver større end 4. 



F"or at vise, at der til en forelagt Gren G ikke kan føjes nogen ny Gren, er 

 del tilstrækkeligt at paavise et Punkt P af den Beskaffenhed, at enhver ret Linie, 

 der gaar gennem P, skærer G i 4 Punkter; en ret Linie, der forbinder P med et 

 Punkt af en ny Gren, vil nemlig skære den sammensatte Kurve i flere end 4 Punkter. 



Et saadant Punkt P kan man nu let 

 finde i det førstnævnte af de to Tilfælde. 

 Fra et Dobbeltpunkt O af første Art ud- 

 gaar nemlig ingen Tangent, der berører 

 udenfor O; derfor maa enhver gennem 

 O gaaende ret Linie skære i 2 Punkter 

 foruden i O (er Linien en Tangent i O, 

 falder dog endnu et Skæringspunkt i O). A' 

 Punktet P bliver nu et Punkt, der lig- 

 ger tilstrækkelig nær ved O og paa den 

 negative Side af de to gennem O 

 gaaende Kurvegrene. Punktet ligger til- 

 strækkelig nær ved O, naar man kan 

 komme fra O til P uden at overskride 

 hverken Kurven eller nogen Vendetan- 



gent til denne. 



Det 



Fig. 28. 

 er let at sé, hvilke af Formerne, der kan have et Dobbeltpunkt af første 



Art. 



En saadan maa enten have alle sine Dobbeltpunkter af første Art, og altsaa 



') .Sé særlig Zeutlien : Sur le.s dilToreiilis loriiies des courljes plnncs du (juiilr. ordir, Matli. Ann. 

 Bd. VII p. 410. 



1). K. I). Vi.lcnsli, SelsU. Skr.. 7. lla-kUe. n:iturvi<liMlsk. n|< iii:illinii, Alil 1. li 



41 



