19 



313 



Til en Gren uden D o b b e 1 1 1 a n g e n t e r o g m e il 2 D o b 1) e 1 1 p u n k t e r kan (2) 

 man højest føje én Gren og denne maa være af anden Orden. 



Den sidste Del af Sætningen følger af, at enhver ret Linie i Planen skærer den 

 førstnævnte Gren i mindst to Punkter; at der nu findes et Punkt Q, og altsaa et 

 Gebet af Punkter omgivende Q, af den BeskalTenhed, at enhver derigennem gaaende 

 ret Linie højest skærer Kurven i 2 Punkter, maa ses af et Eksempel (sé Fig. 3 der 

 let ændres saaledes, al alle Vendetangenter bliver adskilte). Det omtalte Gebet vil 

 begrænses af Kurvens 4 Vendetangenter. 



Vi mangler endnu at lage Hensyn til Kurverne af første og af fjerde Type. 

 Her har man; 



En Kurve a f f j e r d e Orden kan være sammensat af et v i 1 k a a r 1 i g I (3) 

 Antal af Grene, saafrenit disse enten ikke har Dobbeltpunkter eller 

 kun Dobbeltpunkter af anden Art; det er ikke nødvendigt, at alle Grenene 

 indbyrdes hører til samme Type. 



Det er tilstrækkeligt at konstruere to Ovaler, der skærer hinanden lad os sige 

 i 12 Punkter (at dette er muligt, er let al vise). Her kan man eksempelvis — jfr. 

 Fig. 32 — let danne sammensatte Kurver ved passende Afrunding af Grenene. 



Det kan endnu bemærkes, at det er 



muligt i visse simple Tilfælde at paavise, 

 at en Kurve er af fjerde Orden, naar dens 

 Singulariteter er begrænsede paa passende 

 Maade. Vi vil nøjes med at bevise den 

 allersimpleste af disse Sætninger: 



En lukket Kurve, der ikke har 

 andre Singulariteter end Dobbelt- 

 tangenter og lutter Dobbeltpunk- 

 ter af første Art maa være af fjerde 

 Orden og Klasse. 



Et Dobbeltpunkt af første Art er et 

 saadant, hvorigennem der ikke gaar andre 

 Tangenter end de, der berører i Punktet. 

 Bevæger nu et Punkt M sig paa Kurven 

 ud fra et Dobbellpunkt O, vil der, naar M bevæger sig paa Kurven lidt bort fra O, 

 optræde to Tangenter gaaende gennem M (foruden Tangenten i M), ifald Bevægelsen 

 sker til en bestemt Side paa hver af de to gennem O gaaende Buer; sker bevægel- 

 sen derimod i den modsatte Retning, optræder ingen saadanne Tangenter. Lad nu 

 M bevæge sig ud fra O langs en Bue saaledes, at der til at begynde med optræder 

 2 nye Tangenter gennem M. Dette vil vedblivende va^re Tilfældet, indtil M naar 

 et nyt Dobbeltpunkt Oj. Ved at overskride dette stadig i samme Retning maa de 

 to ny Tangenter gennem M atter forsvinde, thi ellers vilde der gennem Kurve- 

 punktet M, der ligger i vilkaarlig Nærhed af et Dobbeltpunkt, kunne gaa 4 Tan- 

 genter foruden Tangenten i Af, i Modstrid med det ovennævnte. Man ser paa den 



41* 



Fig. 32. 



(4) 



