314 20 



Maade, al der gennem et vilkaarligl Kurvepunkt iW højest gaar 2 Tangenter foruden 

 Tangenten i M. Da nu Kurven ikke har Vendetangenter kan man komme fra et 

 vilkaarligl Punkt i Planen til el Punkt i vilkaarlig Nærhed af Kurven uden derved 

 hverken al vinde eller al tabe nogen gennem Punktet gaaende Tangent; deraf følger 

 straks, at Kurven maa være af fjerde Klasse. Da nu alle Kurver af fjerde Klasse 

 undtagen de, der er af fjerde Orden, nødvendigvis har mindst 2 Spidser, er Sæt- 

 ningen bevist. 



Vi har i det foregaaende alene talt om lukkede Kurver af fjerde Orden. Hvad 

 (5) aabne Buer angaar, kan man let sé, al en enkelt a aben Bue af fjerde Orden 

 maa være en Del af en lukket Kurve af samme Orden. 



Lad Buens Endepunkter være A og ß og lad en ret Linie / i Planen, der 

 skærer Buen i 4 Punkler, skære Forbindelseslinien AB i et Punkt C. Den givne 

 Bue i P'orbindelse med del Liniestykke AB, der ikke indeholder C, maa da være 

 en lukkel Fvurve af fjerde Orden (selv om den ikke ubetinget er fuldstændig kon- 

 tinuert). Den lukkede Kurves Orden maa nemlig enten være 4 eller 5, og da / 

 skærer den i 4 Punkler, maa Ordenen være 4. 



Derimod vil flere aabne Buer, der tilsammen er af fjerde Orden, ikke alle 

 nødvendigvis være Buer af samme lukkede Kurve af fjerde Orden. 



§ 5. 

 Om almindelige entydige Afhængigheder i Planen. 



Del ei- let al sé, al der kan eksistere ikke-analytiske og overall gensidig enty- 

 dige Afhængigheder mellem en Plans Punkter. Man kan f. Eks. bestemme en ikke- 

 analytisk plan Kurve af tredie Orden, som af enhver ret Linie, der gaar gennem el 

 Punkt A og tillige af enhver ret Linie, der gaar gennem et andet Punkt B, skæres 

 i ét og kun él Punkt. Specielt kan Kurven vælges symmetrisk om Linien AB som 

 Akse. Drejer man nu Kurven om AB, dannes en Flade, og man kan sammen- 

 parre de Punkler i en ny Plan, der henholdsvis fra A og fra B projicerer samme 

 Punkt af Fladen. Her gaar Forbindelseslinierne mellem tilsvarende Punkter gennem 

 samme Punkt; ved Tilføjelse af en projektiv Transformation kan delle let undgaas. 



Af Sætninger om almindelige entydige og kontinuerlige Punktafhængigheder i 

 en Plan er den vigtigste sikkert den, der først er fremsat af A. Schoenflies om den 

 entydige Afhængighed i et endeligt Omraade'). 



Her skal kun tilføjes nogle nærliggende Sætninger om kontinuerlige og gen- 

 sidigt entydige Afhængigheder mellem l^unkler af en hel projektiv Plan, hvor de 

 uendelig fjerne Punkter altsaa antages al ligge paa en ret Linie. 

 (1 ) Tilsvarende K u r \' e r maa enten begge være af lige eller begge af 



ulige Orden. 



Lad Yi og Y2 være lo Kurver i den ene F"igur, j-,' og ;-„' disses tilsvarende. 

 Til et Skæringspunkt mellem ;-, og ;-,, svarer et Skæringspunkt mellem ;-/ og y.,'; 

 naar y^ og ;-., berører hinanden, maa ogsaa 7-/ og y.,' berøre hinanden i del til- 



') sé, Sclioentlies: Über einen Satz der Analysis situ.s. Gott. Nachr. 1899. 



