21 315 



svarende Punkt. Naar nu y^ og j-., hegge er al" ulige Orden, maa de skære hin- 

 anden i el ulige Antal Punkler, men da niaa 7-/ og ;.,' ogsaa have et ulige Antal 

 Punkter fælles, d. v. s. de sidstnævnte maa begge være af ulige Orden. 



Ved den kontinuerlige og gensidigt entydige Afhængighed mellem (2) 

 en projektiv Plans Punkter, maa der nødvendigvis findes mindst él 

 Punkt, der svarer til sig selv. 



Beviset er i alt væsentligt analogt med Chasles' bekendte Konstruktion af en 

 Projeklivitels Dobbeltpunkter. 



Lad A og Al være to tilsvarende Punkter. Til rette Linier / gaaende gennem 

 A svarer Kurver Zj gennem A^, og alle disse er af ulige Orden. Det geometriske 

 Sted for Skæringspunkter mellem tilsvarende Linier / og l^ vil derfor være en altid 

 eksisterende sammensat eller usammensal lukkel Kurve <f. Den gaar gennem A,, 

 da der ogsaa til Linien AAi maa svare en Kurve I^, men den gaar ogsaa gennem A. 

 Opfalles nemlig A som et Punkt af den anden Figur, vil dertil svare et Punkt A~' 

 i den første, og den til den rette Linie AA~^ svarende Kurve /, vil gaa gennem A. 

 Man ser nu, at ^ maa være af lige Orden, thi enhver ret Linie gennem A skærer 

 den foruden i A endnu i et ulige Antal Punkler. Lad yderligere B og ßj være 

 et nyt Par tilsvarende Punkter, hvoraf intet ligger paa (p, eller paa AAi. Til disse 

 vil der paa tilsvarende Maaade svare en Kurve (p. Et Skæringspunkt D mellem (p 

 og i/i, der ikke ligger paa Forbindelseslinien AB, maa svare til sig selv, thi de til- 

 svarende Kurver til de rette Linier AD og BÜ i den første Figur kan kun have 

 ét Punkt fælles. Men y; og ^ vil have de Punkter fælles, hvori den rette Linie AB 

 optallet som en Linie i den første Figur skærer sin tilsvarende Kurve, altsaa el 

 ulige Antal og mindst ét beliggende paa AB, <p og il<, der skal have el lige Anlal 

 Punkler fælles, maa derfor mindst have ét Punkl fælles udenfor Aß, d. v. s. mindst 

 ét Punkl maa svare til sig selv. 



Vil man komme videre, maa man lilfoje yderligere Betingelser og særlig lage 

 Hensyn til tilsvarende Omløbsretninger i Planen. 



§6. 

 Rumkurver af tredie Orden. 



Ved en Rumkurve af «-le Orden vil vi forstaa en Kurve, der fra et vilkaar- 

 ligl Punkl P i Rummel, der ikke ligger paa selve Kurven, ind paa en Plan, der 

 ikke gaar gennem P, projiceres i en sammensat eller usammensal plan Kurve af 

 højest n-te Orden en Grænse, der skal kunne naas. En saadan Kurve R" kan 

 altsaa af en Plan højest skære i ;i Punkler med mindre Planen da har uendelig 

 mange konlinuert paa hinanden følgende Punkter fælles med Kurvene; det sidste 

 svarer til, al Projektionen enten er en ret Linie eller indeholder en ret Linie som 

 en Del. I Overensstemmelse med vor Definition kan en ß" beslaa af en eller flere 

 Dele, Grene. Men om hver enkelt Gren vil vi forudsætte, at den er konlinuert 

 og i almindelig projektiv Forstand lukket. 



