27 321 



af en Rum kurve, at dennes Projektion fra A ind paa en Plan faar et 

 Infleksionspunkt i Sporet af Tangenten a i A. 



Oskulationsplanen « i A kaldes en hy peroskulerende eller stationær 

 Plan. Det er aabenbart, at Valget af Projektionsplanen er vilkaarlig, naar den blot 

 ikke gaar gennem A. 



Lad os nu projicere Kurven fra et fra A forskelligt Punkt (} af a ind paa en 

 Plan TZi og finde hvilket særegent Punkt Projektionen A^ af A maa blive for Pro- 

 jektionen /?,. Det følger nu af Definitionen (1), at Planen a efter at den er drejet 

 om a en lille Vinkel til den ene Side vil skære Rumkurven R i to ved A nærlig- 

 gende Punkter, medens den ikke skærer R i noget ved A nærliggende Punkt, naar 

 Drejningen sker en lille Vinkel om a til den modsatte Side. For Projektionen R^ 

 følger heraf, at A paa R^ maa være enten et Infleksionspunkt eller en Spids af 

 anden Art. Men det kan ikke være et Infleksionspunkt, da enhver ret Linie /,, der 

 gaar gennem A^ og ligger i tti men ikke i a, i saa Fald kun vilde skære R^ i et 

 enkelt Punkt, medens enhver Plan gennem Tangenten o sikkert maa skære R i 

 mindst to i A sammenfaldende Punkter. Man har altsaa : 



Projiceres en Rumkurve fra et Punkt af Tangenten i et Hyper- (5) 

 oskulationspunkt (udenfor dennes Røringspunkt A), faar Projektionen 

 en Spids af anden Art i Billedet afA. 



Af Beviset er det let at sé, at man fra (4) kan komme til (5), saa at den i (5) 

 nævnte Egenskab kan bruges som Definition. 



Lad os dernæst projicere Kurven R fra et Punkt A', der ligger paa selve Kurven 

 og i Nærhed af et Hyperoskulationspunkt A. Da vi vil gaa ud fra, at Projektionen 

 varierer kontinuert med Beliggenheden af Projektionscentret, vil ogsaa Projektionen 

 Ri' af R fra A' paa en Plan k^ faa et Infleksionspunkt, der ligger i Nærhed af A,; 

 heraf følger, at der gennem A' gaar en Oskulationsplan til Kurven, der berører i et 

 Punkt B' i Nærhed af A'. Naar A' nærmer sig A i en bestemt Retning, vil ogsaa 

 B' nærme sig til A og i dette Punkt vil A' og B' falde sammen. Punkterne A' og 

 B' maa nødvendigvis bevæge sig paa hver sin af de to elementære Buer, der støder op 

 til hinanden i A, og allsaa i en vis Nærhed af A bevæge sig i modsatte Retninger. 

 Kaldes A' et Oskulationspunkt til B', naar Oskulationsplanen i B' gaar gennem A', 

 kan man sige, at A er et Sammenfaldspunkt mellem Rækken af Kurvepunkter og 

 Rækken af tilsvarende Oskulationspunkter. Ethvert Sammenfaldspunkt A af denne 

 Art maa omvendt være et Hyperoskulationspunkt ifølge Definitionen paa et saadant; 

 fra det bevægelige Punkt A' projiceres nemlig Kurven i en plan Kurve R^' med et 

 Infleksionspunkt ß,', der konvergerer mod et Vendepunkt for Projektionen i Sporet 

 af Tangenten i A, naar A' konvergerer mod A. At de to Punkter A' og B' i en vis 

 Nærhed af A bevæger sig i modsatte Retninger, følger af, at A sikkert ikke kan 

 være et indre Punkt paa en elementær Bue'). 



Man kan ogsaa faa et Hyperoskulationspunkt bestemt paa en anden Maade 



') Det er forudsat, at ikke en tæt Samling af Tangenter til den ene Bue skærer den anden, en Forud- 

 sætning, der er opfyldt for de Kurver, paa hvilke Resultaterne anvendes i det folgende. 



42- 



