322 28 



som et Sammenfaldspunkl. Lad os som før projicere Rumkurven R fra et Punkt A' 

 af selve Kurven og i Nærhed af et Hyperoskulationspunkt A ind paa en Plan tti i 

 en Kurve ßj. Sporet af Tangenten i A' være A,'. Da Projektionen i Nærheden afAj 

 og altsaa ogsaa i Nærheden af A^' har et Infleksionspunkt, vil der være én og kun 

 én Tangent til Projektionen, der gaar gennem A/ og berører i Nærheden af dette 

 Punkt. Er dens Røringspunkt C,', vil der til A' svare et andet Punkt C af Rum- 

 kurven, der samtidig med A' ligger i Nærheden af A og saaledes, at Tangenterne i 

 A' og C skærer hinanden. A' og C kaldes indbyrdes Tangential punk ter. Deres 

 Forbindelse er gensidig, og Punkterne maa bevæge sig i modsatte Retninger mod 

 A, da to Tangenter til samme elementære Rue ikke kan ska're hinanden. At hvert 

 saadant Sammenfaldspunkl omvendt maa give et Hyperoskulationspunkt, ses som 

 ovenfor. Man har altsaa: 



(6) Ethvert Hyperoskulationspunkt kan fremkomme som Sammen- 

 fa Id spun kt for Rækken af Kurvepunkterne A' og enten Rækken af til- 

 svarende Oskulations])unkter B' eller Rækken af tilsvarende Tan- 

 g e n t i a 1 p u n k t e r C. 



Tangenterne i A' og C bestemmer en Dobbelttangentplan til Kurven, der saa 

 at sige ruller paa denne, til den i den stationære Oskulationsplan faar en Grænse- 

 stilling; naar A' nemlig overskrider A, vil C falde i de tidligere Stillinger for A', 

 saa at den omtalte Plan nu vil rulle tilbage. Heraf ser man, at der, naar P over- 

 skrider en Hyperoskulalionsplan «, vil tabes eller vindes en gennem P gaaende 

 Dobbelttangentplan til Kurven. Naar et Punkt P nærmer sig « — og udenfor a — 

 vil Røringspunkterne A.^' og C^' for Dobbelttangenten til Kurvens Projektion fra 

 P paa en Plan ;r, konvergere mod at falde sammen, og det Punkt A.^, hvori de 

 falder sammen, naar P falder i a, er ikke noget Flerfoldspunkt eller en Spids. Den 

 Bue A' C, der indeholder A, maa derfor i Projektionen afbildes som en indadgaaende 

 Bue ') ; denne har to Inlleksionspunkter, der altsaa forsvinder samtidig med selve Ruen. 



(7) Derved, at et Punkt P overskrider en stationær Plan, tabes eller 

 vindes en gennem P gaaende Dobbelttangentplan til Kurven, og sam- 

 tidig henholdsvis tabes eller vindes to gennem P gaaende O s k u 1 a - 

 lionsplaner. 



(8) Vi vil endnu vise, at Sporet <Ti afKurvensTangentflade i enPlauTTi har 

 Sporene af Kurvens stationære Oskulationsplaner til Vendetangenter. 



Lad Sporet af en stationær Plan « i ttj være aj. Da der derved, 

 ,';/ ,//,. at et Punkt P (der bevæger sig i ;r,) overskrider a^, skal tabes 

 /I//// eller vindes to gennem P gaaende Tangenter til <Tj, ser man, at Oj 

 /A/\,' enten maa være en Vendetangent eller Tangenten i en Spids af 



,^^><^t^-'' anden Art. For at sé, hvad det er, lader vi P bevæge sig saa- 



ledes i n.^, at del i A, overskrider Sporet af Tangenten a i Hyper- 

 '^ oskulationspunktet A. Ved at projicere Kurven R fra A^ ind paa 



') Dette er egentlig kun bevist for Kurver af fjerde Orden: det er ogsaa kun for disse Kurver, vi 

 gør nogen virkelig Anvendelse af ovenstaaende. 



