29 323 



en nj' Plan n« faar Billedet en Spids af anden Art i Billedet A„ af A. De nærliggende 

 Buer, der svarer til, at P ligger paa den ene eller den anden Side af «, findes teg- 

 nede Fig. 33 i a) og h). Man ser, at der baade paa den ene og den anden Kurve op- 

 træder en enkelt Vendetangent i Nærheden af ^„. Dette viser, at der baade før og 

 efter Overgangen gaar én Tangent til a^, der berører i Nærheden af Aj, saa at a, 

 niaa være en Vendetangent. (At der ogsaa vindes eller tabes en Dobbeltsekant ved 

 at overskride Tangentfladen i et Punkt af a, følger let af det foregaaende.) 



Af en af de bekendte Paritetssætninger fra Plangeometrien følger nu: 



En Kurves Rang og Antallet afde ns stationær eOskulationsplaner 

 har samme Paritet. 



Har Kurven specielt virkelige Spidser (o: Punkter, der fra et vilkaarligl Punkt 

 i Rummel udenfor Spidsen projiceres som Spidser), maa aabenbart deres Antal ogsaa 

 have samme Paritet som Kurvens Rang. 



Vi vil nu i de vigtigste Tilfælde sé at blive klar paa, hvorledes Antallet af de 

 gennem et Punkt P gaaende Dobbeltsekanter, Oskulationsplaner og Dobbelttangenl- 

 planer forandrer sig, idet P flytter sig i Rummet. 



Lad os antage, at Projektionen af en Rumkurve R fra én Stilling P^ af et be- 

 vægeligt Projektionscentrum P faar tilsyneladende Dobbeltpunkter med forskellige 

 Tangenter. F^ra nærliggende Stillinger af P (hvortil Punktet kan komme fra P^j 

 uden at overskride de særlige Stillinger, vi straks skal omtale) vil Projektionen faa 

 del samme Antal Dobbeltpunkter, og disse vil være nærliggende ved de oprindelige. 

 Antallet vil kun kunne forandre sig enten derved, al lo Buer i Projektionen be- 

 rører hinanden, eller derved, at en Bue gaar gennem en anden Bues Spids, eller 

 endelig derved, at en enkelt Bue faar en ny Spids. Det mellemste Tilfælde kan 

 man, om man vil, altid undgaa, og vi vil ikke give os af dermed. I det første af 

 de lo tilbageblevne Tilfælde maa enten lo Dobbeltpunkter i Projektionen forsvinde 

 eller lo saadanne maa komme til. I Rummet vil P samtidig overskride det geo- 

 metriske Sled for Forbindelseslinierne mellem Par af saadanne Punkler paa 

 Kurver, hvis Tangenter skærer hinanden. Disse Linier (gaar vi ud fra) danner en 

 udfoldelig Flade, der kaldes Kurvens dobbelt omskrevne udfoldelige 

 Flade U. Men derved, at P overskrider den, vil der da ogsaa tabes eller vindes 

 to gennem P gaaende Tangentplaner til V\ man kan i Almindelighed intet sige 

 om, hvorledes Vinding og Tab af Dobbelttangentplaner og Dobbellsekanler hører 

 sammen. 



Lad os nu først antage, al P udgaar fra et Kurvepunkl P^, der er et indre Punkt 

 paa en elementær Bue og at P^ hverken ligger paa et andet Punkts Tangent eller 

 paa" en Trisekant. Idet P bevæger sig ud fra Pp, vil vi særlig tænke pan, at P 

 bevæger sig langs en ret Linie /. Der vil nu derved, at P forlader Kurven, optræde 

 el vist Antal nye Dobbeltsekanter gennem P; Grænsestillingerne for disse, svarende 

 til, at P flyttes tilbage til Pq, faar man ved at lægge en Plan gennem Z og Kurvens 

 Tangent i P^\ skæres Kurven af denne Plan udenfor P^ i Qj, Q. . ■ ■ Qs, bliver de 

 nævnte Grænsestillinger PoQu P0Q2 ■ ■ ■ Po Qs- Der vil allsaa optræde s nye Dobbelt- 



