31 325 



E n /{^ , d e r s k a 1 d a n n e s a f 4 G r e n e , m a a være sammensat a f f i r e (1) 

 rette Linier; skal den dannes af tre Grene, maa den være sammensat 

 af en ret Linie og en sammensat Kurve af tredie Orden. 



Vi vil nu betragte det Tilfælde, at Kurven er sammensat af to Grene. Disse 

 maa enten begge være af lige eller begge af ulige Orden; de kan derfor enten være 

 1) en ret Linie og en Gren af tredie Orden, 2) to Grene af fjerde Orden, 3) en Gren 

 af fjerde og en af anden Orden, 4) to Grene af tredie Orden. At disse forskellige 

 Muligheder svarer til virkelig eksisterende Kurver, er bekendt fra de algebraiske 

 Kurvers Theori undtagen for Tilfældet 3). Dette kan man imidlertid ud fra vore 

 Forudsætninger ikke udelukke. Lad os nemlig tage en algebraisk Kurve af fjerde 

 Orden sammensat af to Grene a og /9 af fjerde Orden. Projicerer man ß fra et 

 Punkt P af «, maa Projektionen blive af anden Orden (men intet Keglesnit), idet 

 ingen Plan gennem P kan skære ß i tiere end to Punkter. Da nu P kan antages 

 hverken at ligge paa en Trisekant til ß eller paa en Tangent eller paa en sta- 

 tionær Oskulationsplan til /?, vil denne ikke alene fra P men ogsaa fra ethvert Punkt, 

 der ligger i et tilstrækkeligt lille Omraade, der omgiver P (et saadant, der ikke 

 indeholder Punkter af den udelukkede Beskaffenhed), projiceres som en Kurve af 

 anden Orden. I dette Omraade kan man lægge en vilkaarlig plan Kurve af anden 

 Orden, der sammen med ß vil danne en sammensat R*, o: 



Foruden de sammensatte R*, der allerede har typiske Repræ- (2) 

 sentanter me Hem de algebra! ske Kurv er, findes efter de al mindeligere 

 Forudsætninger ogsaa Kurver, der er sammensatte af en Gren af 

 fjerde og en af anden Orden. 



Vi vil nu særlig betragte den Kurve, der er sammensat af to Grene af tredie Orden. 



Antallet af de gennem et Punkt P gaaende Dobbeltsekanter (3) 

 er højst to; én vil der altid findes, og det nævnte højeste Tal kan 

 altid naas. 



At der altid findes mindst én, følger af, at Projektionerne G\, og G\ af de to 

 Grene R\ og R\ fra et vilkaarligt Punkt P ind paa en Plan altid maa have mindst 

 ét Punkt fælles. Flere Skæringspunkter mellem G] og G] er ikke mulige, da en 

 ret Linie gennem to saadanne vilde skære GJ-j-G^ i 6 Punkter. Til denne ene kan 

 der komme én Dobbeltsekant til en af Grenene R\ eller R\. Der kan ikke gennem 

 P gaa én Dobbeltsekant til R\ og samtidig én til R\, thi en Plan gennem to saa- 

 danne Linier vilde skære i 6 Punkter. 



Den sammensatte Kurves Klasse maa være 6. (4) 



Det kommer efter § 6 (6) kun an paa at vise, at dette Tal altid kan naas. 

 Gennem et vilkaarligt Punkt Pj af en Tangent a til R\ kan ikke gaa nogen Dob- 

 beltsekant b til R\, da Planen (ab) vilde skære i 6 Punkter. Gennem Pj gaar altsaa 

 3 Oskulationsplaner til RI ; det samme vil være Tilfældet for et vilkaarligt andet 

 Punkts Vedkommende, der blot ligger i et vist Omraade, der omgiver P, — nemlig 

 et saadant, der ikke indeholder noget Punkt af fi.,'s Tangentflade. Vælger man nu 

 et saadant Punkt P i Omraadet, at det tillige ligger paa den positive Side af den 



