326 32 



gennem Pi gaaende Tangentflade til R], vil der gennem P gaa 6 Oskulationsplaner 

 til R', + Rl. 



(5) Den sammensatte Kurves Rang er 8. Det kommer kun an paa at vise, 

 at dette Tal kan altid naas. 



Lad os nemlig paa den nysnævnte Maade bestemme et Punkt P, gennem hvilket 

 der gaar tre Oskulationsplaner til hver af Grenene. Projiceres den sammensatte 

 Kurve fra P ind paa en Plan, faar man i Projektionen to Kurver G] og GJ uden 

 Dobbeltpunkter, der har et Punkt A fælles. Fra A udgaar to Tangenter til hver af 

 Kurverne foruden de Tangenter, der berører i A. Men i et lille Omraade om A 

 maa der, da man kan gaa ud fra, at ingen af Grenene i A har et Infleksionspunkt, 

 findes et Punkt, der ligger paa den positive Side af begge de to gennem A gaaende 

 Buer. Gennem et saadant Punkt B gaar 8 Tangenter til Gi^G^, og Linien AB vil 

 derfor skære 8 Tangenter til /?, + fi.^. 



Lad os nu betragte en enkelt Gren af fjerde Orden. Kurven kan enten have 

 Trisekanter eller ingen saadanne. 



Lad s være en ret Linie, der skærer Kurven i de tre adskilte Punkter A, B, C. 

 Fra A projiceres Kurven i en G^ med et Dobbeltpunkt hørende til en Sløjfe. Gaar 

 man fra A over til et nærliggende Kurvepunkt som Projektionscentrum, maa den 

 nye Projektion, der er nærliggende til G^ ogsaa have en Sløjfe hørende til et Dob- 

 beltpunkt. Lader man Projektionscentret løbe videre paa Kurven, maa et Dobbelt- 

 punkt vedblivende findes i Projektionen enten til Stadighed eller indtil Sløjfen 

 svinder ind, saa at der kommer en Spids; derefter forsvinder Dobbeltpunktet, o: 



(6) Naar en Kurve af fjerde Orden har én Trisekant, maa den have 

 uendelig mange, der vil danne en vindskæv Flade. Findes der be- 

 rørende Trisekanter, vil de enkelte Punkter, disse har fælles med 

 Kurven, skille en Bue, fra hvis Punkter der udgaar Trisekanter, fra 

 en saa dan, hvor dette ikke er Tilfældet. 



At Fladen ikke kan være udfoldelig, følger af, at en Tangentplan til denne vilde 

 faa 6 Punkter fælles med Kurven. 



Det er let at sé, at en Gren med Trisekanter ikke sammen med nogen anden 

 Gren kan danne en sammensat Kurve af fjerde Orden. 



Lad os nu betragte en enkelt Kurvegren af fjerde Orden uden Trisekanter. 

 Her vil der gennem hvert Kurvepunkt A gaa tre Oskulationsplaner, der hver be- 

 rører i et Punkt B forskelligt fra A. Til hvert Punkt A svarer altsaa 3 adskilte 

 Punkter B, og til hvert Punkt B svai-er ét Punkt A. Heraf følger, som ofte tid- 

 ligere benyttet, at samtidige Punkter B alle maa bevæge sig i én og samme Retning 

 paa Kurven, der enten kan være den samme som den, hvori Punktet A bevæger 

 sig, eller den modsatte. I det sidste Tilfælde finder 4 Sammenfald Sted mellem et 

 Punkt A og et tilsvarende Punkt ß; der findes altsaa ifølge § 7 (6) fire Hyper- 

 oskulationspunkter paa Kurven. Men vi har tidligere bevist, at i Nærheden af et 

 saadant Punkt bevæger et Kurvepunkl og dettes Oskulationspunkt sig altid i mod- 



