33 327 



satte Retninger; eksisterer altsaa blot ét Hyperoskulationspunkt, niaa A og ß be- 

 væge sig i modsatte Retninger. Man har altsaa: 



En usammensat Kurve affjerdeOrden uden Trisekanler har enten (7) 

 ingen eller fire stationære Oskulationsplaner. 



Lad s være en Dobbeltsekant, der i A og B skærer Kurven. Projiceres denne 

 fra A i en G*, vil der fra Projektionen af ß udgaa to Tangenter til G-\ Man har altsaa: 



Enhver Dobbeltsekant til en Gren af fjerde Orden vil skære to (8) 

 Tangenter til denne udenfor deres Røringspunkt. 



Sætningen gælder specielt ogsaa, naar Dobbeltsekanten gaar over til al blive 

 en Tangent. Ved Hjælp heraf kan man ogsaa faa et andet Bevis for (7), idet man 

 betragter Forbindelsen mellem et vilkaarligt Kurvepunkt A og et andet Kurvepunkt 

 C, hvis Tangent skærer Tangenten i det førstnævnte Punkt (sé Sætning (6) § 7). 



Det kan endnu bemærkes, at da Kurven har Dobbelttangentplaner, maa der 

 ogsaa findes Planer, der ikke skærer Kurven. Man kan derfor i alle Tilfælde gaa 

 ud fra, at Kurven — i hvert Fald efter en Omprojektion — ligger helt i det endelige. 



Vi vil nu betragte en Gren af fjerde Orden dels med et virkeligt Dobbeltpunkt 

 dels med en virkelig Spids. Da enhver Plan gennem et saadanl Punkt dér vil skære 

 i to (sammenfaldende) Punkter, ser man let, at en Gren med Dobbeltpunkt eller 

 Spids ikke sammen med nogen anden Gren kan danne en sammensat Kurve af 

 fjerde Orden. 



Lad os nu først tage Kurven med et Dobbeltpunkt O. Ud fra dette maa 

 Kurven projiceres ved en Kegle af anden Orden. En Frembringer i denne kan kun 

 have ét Punkt fælles med Kurven, thi skar den i to Punkter A og B, vilde en 

 Plan gennem O, A og Tangenten i a skære i mindst 5 Punkter; specielt indbefattet 

 heri har man, at der fra O ikke kan udgaa nogen Tangent til Kurven. 



Ved Dobbeltpunktet deles Kuiven i to Pseudogrene a og ß; disse maa enten 

 begge være af lige Orden, eller begge af ulige Orden. 



Vi vil nu først antage, at de begge er af lige Orden. Projicerer man Kurven 

 fra et Punkt A af «, vil hele Kurven a + ß projiceres i en Kurve a, + ^, af tredie 

 Orden med et Dobbeltpunkt 0^. Projektionen af den Pseudogren a, hvorpaa Øje- 

 punktet ligger, maa være den ulige Gren, thi a selv er af lige Orden. Da der nu 

 fra ethvert Punkt af den ulige Pseudogren af en plan Kurve af tredie Orden ud- 

 gaar to Tangenter, hvoraf den ene berører Sløjfen, har man: 



Enhver Tangent til Kurven skærer to andre Tangenter én til (9) 

 hver af de to Pseudogrene. 



Vi vil nu søge Kurvens stationære Planer og dertil benytte f. Eks. den sidst- 

 nævnte af de to ovenfor nannte Metoder. Lad A og C være to saadanne Punkter 

 af samme Pseudogren, hvis Tangenter skærer hinanden. Mellem Punkterne A 

 og C er der da efter det nysnævnte en gensidig entydig Forbindelse. Naar A falder 

 i O, maa ogsaa C falde i O, da der ellers enten vilde gaa en Tangent gennem O, 

 der ikke berørte i O, eller vilde gaa en Plan gennem de to Tangenter, der skar i 

 flere end 4 Punkter. Naar A ligger paa en af de gennem O gaacnde Buer af « og 



D. K. I). Viilensk. Selsk. Slu-.. 7. Riclikc. n.Tturvidcnsk. o^i iiKithcm. Aid. I 1>. 43 



