37 331 



ligger indeni begge Keglerne, udgaar lo Dobbeltsekanter; det viser yderligere, al der 

 gennem hvert saadant Punkt gaar 4 Oskulationsplaner til Kurven. 



Vi vil nu lade Punktet P gennemløbe det Liniestykke AB, der ligger udenfor 

 begge Keglerne, og lade P begynde i A. I umiddelbar Nærhed af A findes atter 2 

 Dobbeltsekanter gennem P, og Ændring i dette Tal kan kun ske derved, at P over- 

 skrider et af de to Punkter C og D, hvori AB skæres af to Kurvetangenter hen- 

 holdsvis c og d. Lad C være det første af disse Punkter, som P naar ved at gaa 

 ud fra A. Paa det Liniestykke CÜ, som ikke indeholder A, er det muHgt, at der 

 kunde udgaa 3 DobbeUsekanter; den ene men ogsaa kun den ene af disse, vilde, 

 naar P var Nabopunkt til C, være en Nabolinie til c. Tangenten c vil nu ogsaa 

 skære to andre Tangenter e og f lad os sige i £ og F. Ifald disse Punkter ikke 

 skiller C fra c's Røringspunkt Cj, kan man lade P gennemløbe c fra C til Ci, saa- 

 ledes at der paa Vejen hverken vindes eller tabes nogen gennem P gaaende Dob- 

 beltsekant. Men gennem et Nabopunkt til C^ gaar kun én Dobbeltsekant foruden 

 Tangenten c; det er derfor umuligt, at der gennem C foruden Tangenten c kan gaa 

 to derfra forskellige Dobbeltsekanter. Ved langs Linien AB at overskride C maa 

 der altsaa nødvendigvis tabes en Dobbeltsekant. 



I alle Tilfælde kan man paa en anden Maade komme fra C til et Nabopunkt 

 til Kurven uden at overskride dennes Tangentflade. Man kan nemlig først lade P 

 bevæge sig langs c fra C til E (livorved F tænkes ikke overskredet) og til at begynde 

 med paa den negative Side af den gennem C gaaende Tangentflade. Gik der gennem C 

 en Dobbeltsekant foruden Tangenterne a og c, vilde der gennem E gaa mindst én 

 Dobbeltsekant foruden de to Tangenter c og e. E er nu et Punkt af Tangentfiadens 

 Dobbeltkurve a, og vi lader P bevæge sig videre langs denne. Herved kan P ifølge 

 (2) ligesaalidt overskride Tangentfladen som Kurvens dobbelt omskrevne udfoldelige 

 Flade. Men a maa nødvendigvis nærme sig et Hyperoskulationspunkt paa Kurven, 

 thi saadanne eksisterer i dette Tilfælde og de skal kunne fremkomme paa denne 

 Maade. Fra et Punkt i Nærheden af Kurven udgik altsaa med vor Antagelse én 

 Dobbeltsekant foruden to Tangenter. Dette er umuligt, og vi har bevist: 



Til en m onogra m m a I isk Skæringskurve af fjerde Orden mellem (3) 

 to Kegler af anden Orden kan fra et Punkt højest udgaa 2 DobbeU- 

 sekanter. 



Man kan nu bestemme det højeste Antal af Oskulationsplaner, der kan gaa 

 gennem et Punkt P af Rummet. Det Tal, der ikke kan overskrides, kan man 

 finde af Formlen t = ^w + d, hvor t, w og d er Antallet af Dobbeltlangenler, 

 Vendetangenter og Dobbeltpunkter i en Projektion af Kurven. Del højeste Antal af 

 Dobbelttangentplaner gennem P er nu 4, og det mindste Antal af Dobbeltpunkler 

 er Nul; den højeste Værdi for w er herefter 8. Al dette Antal virkelig kan naas, 

 ved man fra de algebraiske Kurver. 



Klassen for en monogrammatisk Skæringskurve af fjerde Orden (4) 

 mellem to Kegler af anden Orden er 8. 



Naar Skæringskurven har et Dobbeltpunkl, bliver der i Virkeligheden kun meget 



