39 333 



Frembringerne f behøver ikke at gøre dette, thi Overgang mellem enkelte og tre- 

 dobbelte Sekanter maa netop ske i de ovenfor bestemte Frembringere i Antal O, 2 

 eller 4. Da nu en Kurve beliggende paa en Hyperboloide ikke kan have andre 

 Linier end dennes Frembringere til Trisekanter, har man : 



Naar en Rumkurve af fjerde Orden paa en Hyperboloide har én (1) 

 tredobbelt Sekant, maa alle Frembringerne af det ene System være 

 enkelte Sekanter, og uendelig mange Frembringere af det andet Sy- 

 stem være tredobbelte Sekanter; O, 2 eller 4 Frembringere af det sidst- 

 nævnte System vil berøre Kurven. 



Vi vil nu betragte de tre Tilfælde med O, 2 eller 4 berørende Trisekanter hver 

 for sig; kun i det første Tilfælde vil vi i det følgende kunne løse Opgaven fuldstændig. 



I det første Tilfælde er samtlige Frembringere f Trisekanter. Projiceres Kur- 

 ven fra et vilkaarligt Kurvepunkt A, bliver Projektionen en G^ med Sløjfe, og 

 Sporet Gi af den gennem A gaaende F'rembringer g^ maa falde indeni Sløjfen, da 

 enhver gennem Gj gaaende ret Linie skal skære den plane Kurve i 3 Punkter; 

 Kurvens Dobbeltpunkt er Sporet F, af den gennem A gaaende Frembringer f^. Lad 

 nu A, være Sporet af den Tangent a, der berører Kurven i A. De tre Punkter Fj, 

 G, og Al maa ligge ud i ret Linie, da f, g og a alle ligger i Fladens Tangentplan 

 i A. Men Forbindelseslinien mellem Dobbellpunktet i G^ og et Punkt, der ligger 

 indeni dennes Sløjfe, maa nødvendigvis foruden i Fi skære Kurven G^ i et Punkt 

 af Sløjfen. Da der nu ikke fra et Punkt A, af denne kan udgaa nogen Tangent, 

 der berører udenfor Ai, kan a ikke skære nogen Tangent vi: 



Kurven uden berørend e Trisekanter har ingen Dobbelt ta ngent- (2) 

 planer. 



Deraf, at Tangenten a i et aldeles vilkaarligt Punkt A skærer Kurvens Projek- 

 tion ud fra A i et Punkt Aj af dennes Sløjfe, kan vi ogsaa drage en anden Slut- 

 ning. Hvis nemlig A var et Hyperoskulalionspunkt, skulde Ai være et Inlleksions- 

 punkt. Men et saadant kan ikke ligge paa Sløjfen o: 



Kurven uden berørende Trisekanter har ingen stationære Osku- (3) 

 1 a t i o n s p 1 a n e r. 



Dette kan ogsaa udledes af (2) ifølge den almindelige Sætning § 7 (ß). 



Rumkurvens Projektion fra et vilkaarligt Punkt P i Rummet bliver ifølge (2) 

 en Kurve af fjerde Orden uden Dobbelttangenter. Den tilhører altsaa efter Enu- 

 merationen i „Grafiske Kurver" den tredie Hovedtype og har da efter den tidligere 

 Theori enten 2 eller 3 Dobbeltpunkter og henholdsvis 4 eller 2 Vendetangenter. 

 Begge disse to Tilfælde er mulige for forskellige Beliggenheder af Projektionscentret 

 P. Projicerer man nemlig fra et Punkt P,, der ligger paa Hyperboloiden, men 

 ikke paa Kurven, faas en G", der har et tredobbelt Punkt med forskellige Tangenter. 

 Projektionen fra et ved P^ nærliggende Punkt maa da faa 3 Dobbeltpunkter. Gaar 

 man nu fra P^ ad en eller anden Vej lil man første Gang overskrider Kurvens 

 Tangentflade, maa der herved tabes én gennem Punktet gaaende Dobbeltsekant. 

 Man har altsaa: 



