336 



42 



genter lil Kurven, der skærer PA; ved at overskride et af disse Skæringspunkter vil 

 der tabes eller vindes to gennem P gaaende Oskulationsplaner. Da man nu i Nær- 

 heden af A begynder med 2 Oskulationsplaner og efter at have gennemløbet Linien 

 / skal ende med lige saa mange, kan man højst ved to af de nævnte Overgange 

 have vundet to Oskulationsplaner. Gennem P kan altsaa højst gaa 6 saadanne. 

 Vi vil imidlertid endnu udtrykkelig vise, at dette højest mulige Antal virkelig kan 

 naas; vort Ræsonnement vilde jo lige saa godt være gyldigt for den Kurve, der 

 ikke har berørende Trisekanter, og dens Klasse er som ovenfor vist 4. Lad os i 

 den Anledning vælge et Punkt A paa Kurven af den Beskaffenhed, at den gennem 

 A gaaende Frembringer / kun skærer Kurven i A. Gennem A gaar da 3 Osku- 

 lationsplaner, der berører udenfor A. Betragtes nu el Punkt P paa Tangenten a i 

 A og nær ved A, vil der gennem dette gaa 4 Oskulationsplaner, der berører udenfor 

 A. Vælger man dernæst et Punkt Q nær ved P og paa den positive Side af den 

 gennem a gaaende Tangentflade, vil der gennem Q gaa 6 Oskulationsplaner. 



Vi vil nu gaa over til de Kurver, hvor der er to berørende Trisekanter. Lad 

 deres Røringspunkter være A og B, og lad dem paany skære Kurven i henholdsvis 

 C og Ü. Det er nu væsentligt, at Punkterne ^ og ß ikke skiller C og D. Man kan 



sé dette ved at projicere vor Rumkurve R* fra C ind paa en 

 Plan i en Kurve G^ Denne faar en Spids i Sporet A^ 

 = F, af Tangenten AC i A. Fra Sporet G, af den 

 gennem A gaaende Frembringer g gaar da én og kun 

 én egentlig Tangent til G^. Lad dennes Røringspunkt 

 være ß,, dens derfra forskellige Skæringspunkt med G'' 

 være D^, og lad A^Gi paany skære G" i Ci- Her ser 

 man let, at ß,/); ikke vil skille A,Ci, da der fra G, 

 kun maa udgaa en Tangent til G'-', og de 4 nævnte Punkter er netop Projektionerne 

 af B, D, A og C. 



Ved Punkterne A, B, C og D deles altsaa Kurven i fire paa hinanden følgende 

 Buer AB, BC, CD og DA, hvor vi ved en Bue stadig vil forstaa den med de angivne 

 Endepunkter, der ikke indeholder noget af de andre Punkter. 



Projektionen af Kurven fra C eller fra D har som nys nævnt en Spids. Pro- 

 jektionen fra Punkter af én og kun én af de Dele, hvori Kurven deles ved C og D, 

 maa da faa et Dobbeltpunkt; den Del, hvor dette finder Sted, maa være sammensat 

 af Buerne CB, BA og AD, thi fra A projiceres Kurven sikkert med et Dobbelt- 

 punkt. Enhver Trisekant f maa derfor skære de 3 nævnte Buer hver i et Punkt; 

 lad Skæringspunkterne henholdsvis være M, N og P. Projicerer man fra Punktet 

 N af Buen AB, maa den Del af Kurven, der sammensættes af Buerne MB, BA og 

 AP, være den, der projiceres i Sløjfen; Tangenten AC skærer nemlig Kurven i C, 

 og Billedet af C maa nødvendigvis ligge paa den ulige Pseudogren afG^. Projicerer 

 man fra et Punkt M af Buen BC, ser man paa samme Maade, at den Del af Kurven, 

 der projiceres i Sløjfen, maa være sammensat af Huerne NA og AP. Vi vil nu bevise: 

 En Tangent, der berører i et Punkt af Buen AB, vil ikke skære 

 nogen anden Kurvetangent. 



Fig. 3G. 



