340 46 



skæres af F^Gi i ét Punkt nemlig F, ; <t er altsaa af lige Orden, de andre af 

 ulige Orden. 



Men a maa være af anden Orden, thi en ret Linie, der skar den i 4 Punkter, 

 vilde skære hver af de ulige Grene i mindst 1 Punkt, altsaa hele Kurven i (4-f- (n~3)) 

 Punkter, hvilket er umuligt. Ligesaa ses, at enhver af de ulige Grene maa være af 

 tredie Orden, thi en ret Linie, der skar en af dem i 5 Punkter, vilde skære hele 

 Kurven i mindst 5 + (,n — 4) = n + 1 Punkter. 



Liniestykket {f\Gi) maa ligge indeni a, da der ikke fra noget af dets Punkter 

 skal udgaa nogen Tangent til Kurven. Punktet A, maa ligge paa Forlængelsen af 

 (F,Gi), og fra intet Punkt M af det Stykke GjAi, der ikke indeholder F,, kan der 

 udgaa nogen Tangent til Kurven ; der kan nemlig ikke gaa nogen Tangent til <r, da 

 M ligger indeni «j, og der kan ikke gaa nogen Tangent til en af de ulige Grene, da 

 en saadan vilde skære <t i 2 Punkter og hele Kurven i 2 + 3 + (n — 4) = n + l 

 Punkter. Men heraf følger atter, at der gennem A^ ikke kan gaa nogen anden 

 Tangent til G"-i end Tangenten i Ap Nu er Ai Sporet af Tangenten til Rum- 

 kurven i Punktet A. Vi har altsaa bevist: 



(2) En V il kaarlig Tangent til Ru m kurven kan ikke skære nogen anden 

 Tangent til Kurven'). 



Man ser allerede heraf: 



(3) Rumkurven har ingen stationære O sku la t ionsplan er. 



Man kan ogsaa sé dette paa en lidt anden Maade. Projicerer man nemlig fra 

 et Hyperoskulationspunkt A, maa der findes et Inlleksionspunkt paa Projektionen i 

 Sporet A, af Tangenten i A. Men dette er umuligt, da Aj er et Punkt af en Kurve 

 af anden Orden. 



Vi vil nu søge, hvormange Dobbeltsekanter til R" der gaar gennem et vil- 

 kaarligt Punkt P af Rummet. Lad os først antage, al Punktet P bevæger sig langs en 

 Tangent a ud fra dennes Røringspunkt A. Fra A udgaar for det første h{n — 2) 

 (n — 3) i /■ sammenfaldende Dobbeltsekanter, da /"er en (n — l) dobbelt Sekant; dette 

 Antal bibeholdes, idet P flytter sig lidt ud fra A. Men der tilkommer j'derligere saa 

 ■ mange nye Dobbeltsekanter, som angives ved Antallet af de fra A forskellige Skærings- 

 punkter mellem Kurven og dennes Oskulationsplan « i A (sé S. 29). Projicerer vi 

 Rumkurven fra A i G"~\ vil Sporet a^ af a blive en Tangent ti! den lige Gren a 

 af G"~i. Denne vil i Overensstemmelse med det tidligere skære hver af de ulige 

 Pseudogrene af G" ^ i ét Punkt o: skære G" > i (n 3) Punkter (udenfor a). Fra 

 et ved A nærliggende Punkt P af a udgaar altsaa: 



i (n - 2) (n — 3) + /i — 3 = ^ n (n — 3) 



Dobbcltsekanter foruden Tangenten a. Delte Antal vil ikke kunne forandres ved 

 at P bevæger sig videre langs a, thi derved kan Tangentfladen ifølge (2) ikke 

 overskrides, og der findes ingen dobbelt omskreven udfoldelig Flade. Fra et Punkt P, 



') Plane Kurver uden reelle Dobbelttangenter er undersøgte af Ms. C. A. Scott, se „On the eircuits 

 of plane curves" Transactions of the Amer. Math. Society. Vol. 3 (1U02), S. 388. 



