342 48 



de n — 3 ulige Pseudogrene af G" ^ i et Punkt S. Desuden vil Linien / skære 

 Kurvens Vendetangenter i ;! - 3 Punkter R. Fra et Punkt at' det Liniestykke PQi, 

 der ligger indeni tr, udgaar ingen Tangent. Men naar et bevægeligt Punkt M gennem- 

 løber det Liniestykke PQ, der ligger udenfor a, vil der ske Ændringer i Antallet af 

 Tangenter udgaaende fra M med ---2 eller --2, naar M overskrider et af Punkterne 

 S eller R. Fra et saadant Punkt af det sidstnævnte Liniestykke, der ligger i umiddelbar 

 Nærhed af Q eller Q^, vil der udgaa 2 Tangenter til Kurven. Idet nu et Punkt M 

 antages al løbe i en bestemt Retning fra Q til Q^, kan vi sige, at der vil vindes 2 

 Tangenter ved x og tabes 2 Tangenter ved ;/ af de nævnte Overgange. Man har da 

 dels x-\-y = 2 (n — 3), dels 2 a; — 2 y = 0. Heraf finder man x = n — 3. Men 

 man maa faa det størst mulige Antal af Tangenter udgaaende fra et Punkt M, 

 naar man ved at gaa fra Q til M kun har overskredet de x Punkter, hvor der 

 vindes Tangenter. Det størst mulige Antal af Tangenter, der kan udgaa fra et 

 Punkt i Planen, er altsaa 2 + 2 (/j — 3) = 2n — 4. 



Vi vil nu vise, at dette Antal virkelig kan naas. Lad nemlig P, være et 

 Punkt i Projektionsplanen, der ligger nær ved Flerfoldspunktet F\ og indeni <t. Fra 

 Pi udgaar der da ikke nogen Tangent til Kurven, og det maa derfor ligge paa den 

 negative Side af alle de Buer, der gaar gennem F^. Det symmetriske Punkt P^ til 

 P, med Hensyn til F, maa derfor ligge paa den positive Side af alle de nævnte 

 n — 2 Buer. Fra P^ gaar der altsaa 2(/j — 2) Tangenter til G"~^ 



Vi vil nu vende tilbage til Rumkurven R" og i et vilkaarligt Punkt A af denne 

 drage Tangenten a og Oskulationsplanen u. Om et Punkt ß af a og i a vil vi lade 

 en ret Linie m dreje sig i en bestemt Omløbsretning fra a tilbage til a og under- 

 søge, hvorniange Tangenter Linien m i en vilkaarlig Stilling vil skære. Gennem R 

 gaar foruden a endnu n — 2 Oskulationsplaner; lad disse skære a i I-inierne /•,, 

 r., ... /•„_2- Planen « vil endvidere foruden i A skære Kurven i n — 3 Punkter; 

 lad disses Forbindelseslinier med ß være Si, s„ ... Sn—s- Naar m i a drejer sig om 

 R, vil der tabes eller vindes 2 Tangenter, der skærer m, derved at m overskrider 

 en I^inie r eller en Linie s. Linien a skærer ikke nogen Tangent; naar ni er Nabo- 

 linie til a, vil den skære O eller 2 Tangenter, eftersom m ligger paa den ene eller 

 den anden Side af a. Vindes der nu ved Drejningen af m ved x af de nævnte 

 Overgange 2 Tangenter, medens der ved y af Overgangene tabes 2 Tangenter, har 

 man, naar den første Nabolinie til a skærer 2 Tangenter, Ligningerne: 



2 + 2a- — 2y = O og x^ y = 2n — 5. 



Heraf finder man x = n— 3. Heraf ser man paa samme Maade som ovenfor, 

 at en ret Linie, der ligger i en vilkaarlig Oskulationsplan, højst kan skære 2 4 2("— 3) 

 = 2 n — 4 Tangenter. 



Lad nu endelig p være en fast men aldeles vilkaarlig ret Linie i Rummel. 

 Gennem p Uegges en fast Plan tt, og i p vælges el fast Punkt P. Lad Planen tt 

 skære den givne Kurve i et l\inkt M. I^inien PM vil hojest skæ-re 2(n— 2) Tan- 

 genier, af hvilke ingen berører i M; drejer man en Linie m i Planen tt om /' lidt 



