344 50 



maa allsaa finde 2(n — 3) Sammenfald Sted mellem el Punkt M og et tilsvarende 

 Punkt N. Men to saadanne Punkter kan kun falde sammen i et virkeligt Dobbelt- 

 punkt paa Kurven. Da nu omvendt hvert saadant to Gange vil give et Sammen- 

 fald, nemlig ét paa hver af de to Buer, der gaar derigennem, har man : 

 (8) En Kurve afn-te Orden, som ligger paa en Hyperboloide, og af 



enhver Frembringer af det ene System skærer i n — 2 Pu n kter, medens 

 t o F r e m b r i n g e r e a f d e t a n d e t S y s t e m b e r ø r e r K u r v e n , maa nødven- 

 digvis have n — 3 virkelige Dobbeltpunkter. 



For n = 4 følger denne Sætning ogsaa af „Indledning" Sætn. 5, Side 47. 



§ 12. 

 Om den ikke analytiske Eksistens af de betragtede Rumkurver. 



Ved den tidligere Opstilling i „Indledning" af Isæren om plane Kurver af Iredie 

 og fjerde Orden gik jog ud fra, at de Kurver, der behandledes, var Kurver tegnede 

 paa et plant Tegnebrædt med en spids Blyant; der var paa den Maadc ikke nogen 

 Nødvendighed for et teoretisk Bevis for Eksistensen af Kurverne, da det tilmed blev 

 paavist (Stng. 4 § 3), at Antallet af de Prøver, man niaatte gøre, for at sé, om Kurven 

 var af en bestemt Orden, altid var endeligt. Man behøver nemlig kun at prøve 

 med Dobbelttangenternc, med Tangenter udgaaende fra en Spids og med F'or- 

 bindelseslinier mellem to Spidser. Men det er ikke del eneste og neppe det mest 

 fyldestgørende Synspunkt, hvorfra den Art Undersøgelser kan ses. Der er nemlig 

 intet i Vejen for at opfatte Teorien som egentlig gyldig for Idealkurver, hvorom de 

 tegnede Kurver kun giver en tilnærmet Forestilling. Denne ændrede Opfattelse med- 

 fører ingenlunde større Forandringer i Teorien, thi vel er Beviserne førte ved Siden 

 af en Figur, men dette er kun sket for at fastholde Tankegangen, medens de iovrigt 

 er byggede paa Grundlag af Definitioner og Forudsætninger. Det eneste nye Spørgs- 

 maal, der kommer op, er i Virkeligheden kun det, om der ex is te rer andre Ideal- 

 kurver med de postulerede Egenskaber end de algebraiske. Den almindelige Form 

 maa være ikke-analy tisk; en saadan er væsentlig karakteriseret ved, at ingen 

 nok saa stor Del af Kurven, der blot ikke er hele Kurven, ikke bestemmer Resten, 

 selv om denne tvinges ind mellem visse Grænser. 



Del er ikke min Mening paa dette Sted at gennemføre Eksistensbeviserne for 

 de plane Kurver i sine Enkeltheder. Dette vil ikke vise sig særlig vanskeligt, men 

 her vil jeg nøjes med i Korthed at sige saameget, at der herigennem fremkommer 

 et Grundlag for de tilsvarende Eksistensbeviser i Rummet. 



Alle de af os betragtede plane Kurver var sammensatte af elementa're Buer 

 (1. V. s. Buer af Kuiver af anden Orden. Det første og afgørende Spørgsmaal bliver 

 da del, om der eksisterer ikke analytiske Kurver af anden Orden. Del er for det 

 første givet, al man kan sammensælle en Oval af algebraiske Buer, f. Eks. (Cirkel- 

 buer. Men man kan komme videre. Jeg vil paa delte Sled nøjes med al henvise 



