51 345 



til visse analytiske Udviklinger særlig et Arbejde af Hr. J. L. W. V. Jensen : „Om 

 konvekse Funktioner og Uligheder mellem Middelværdier" '). En endelig entydig og 

 reel Funktion f{x} af en reel Variabel .v siges der at være konveks, naar man har 



,f(,x,)+f(x,)>2<p{^^-^y 



hvor X-, og x„ er to vilkaarlige Værdier af x i Intervallet. Det bevises yderligere 

 (som specielt indbefattet i almindeligere Uligheder), at man maa have: 



Ja i.Vi+a^Xo_ \ a^f{Xi) + a^fix.j 

 \ a, + a2 /= «i + a. 



Da nu 5i;(.T) godtgøres at være kontinuert, følger heraf straks, at Kurven g» = <p{x) 

 taget i Intervallet fremstiller en Hue, der ikke af nogen ret Linie kan skæres i flere 

 end 2 Punkter. Det bevises yderligere, at f{x) i ethvert Punkt enten har en enkelt 

 eller lo Dillerenlialkvotienter, en freniadgaaende og en tilbagegaaende, svarende til, 

 at en Kurve af anden Orden kan have fremspringende Punkter af første Art. Men 

 en konveks Funktion behøver ikke at være analytisk. Som Eksempel nævnes 1. c. 



U = 00 



f{x) = ^ c„(a; — a-„), 



v= 1 



hvor ^c„ er en uendelig konvergent Række med positive Led, og a',, x„ ... en 

 uendelig Række af voksende reelle Tal beliggende i et endeligt Interval. 



Til vort Brug kan man som konveks Funktion f{x) ogsaa tage Integralet af 

 en vilkaarlig reel, positiv og stedse voksende ikke analytisk Funktion. Danner man 

 det femdobbelte Integral af f{x), faar man en ny konveks Funktion, hvis fem første 

 Differentialkvotienter man i et bestemt selvvalgt Punkt kan give vilkaarlige positive 

 Værdier. 



Ved Sammensætning - særlig Spejling enten i elementærgeometrisk eller pro- 

 jektiv Forstand — kan man af de dannede elementære Buer konstruere ikke analy- 

 tiske Kurver af anden Orden. En saadan, der ligger helt i det endelige, vil vi 

 kalde en Oval. 



For det følgendes Skyld er det af væsentlig Betydning, at der eksisterer, hvad 

 Dr. Böhme kalder elliptisk krummede Ovaler o: Ovaler, hvis femdobbelt rørende 

 Keglesnit alle er Ellipser"). At delte er Tilfældet er afhængigt af, at de fem første 

 Differentialkvotienter tilfredsstiller en vis Ulighed. Da nu for de her benyttede 

 Buers Vedkommende de 5 første Dillerentialkvotienter varierer kontinuert med 

 Punktet, kan man altid være sikker paa Eksistens af endelige Buer af elliptisk 

 krummede Ovaler. Af saadanne Buer kan man altid danne hele Ovalen. I et vist 

 endeligt Antal af Punkter paa Ovalen vil der ganske vist ved denne Konstruktion 

 optræde Spring i de højere DilTerentialkvotienter, men dette forhindrer, saavidt jeg 



') Nyt Tids. f. Mathematik 1905, S. 49; sé ogsaa „Om konvekse Omraader" af J. Hjelmslev smsts. S. 81. 

 -) Se BÖHMii: Über geometrische Approximationen-Üissertation. Göttingen. 



45* 



