346 52 



ser, ikke, al man i all væsentligt kan bruge de samme Raisonnemenler som lindes 

 1. c. til al bevise den mærkelige Sætning, at ethvert Keglesnit, der gaar gennem 5 

 Punkler af Ovalen, maa være en Ellipse. 



Plane Kurver af tredie og fjerde Orden dannes nu ved Sammensætning og 

 Afrunding af elementære Buer. 



Vi vil ikke idet enkelte indlade os herpaa, men straks gaa over til Rumkurverne. 

 Det er øjensynligt, at Fordringen til et Elksistensbevis her optræder med større 

 Styrke end ved de plane Kurver, da F"orsøg paa f. Eks. al tegne en Kurve af fjerde 

 Orden paa en Hyperboloide ikke kan være af den Art, at den giver nogensomhelst 

 Garanti for, at Kurven virkelig bliver af den forlangte Orden. 



Lad os straks gaa over til at sé paa, hvilken Betingelse der maa være tilfreds- 

 stillet, for al en Skæringskurve mellem to Kegler af anden Orden kan . være af 

 fjerde Orden. Vi vil begynde med at antage, at den ene af Keglerne er algebraisk, 

 altsaa en Keglesnitskegle. Denne Kegles Toppunkt være O, Keglen selv (O); den 

 anden ikke algebraiske Kegle vil vi betegne ved (Oi), dens Toppunkt ved Oj. Vi 

 vil betragte Projektionen af Rumkurven fra O, ind paa en fast Plan n. En vil- 

 kaarlig Plan n skærer (Oi) i en Kurve af anden Orden, hvis Projektion paa ti er 

 Sporet G\ af (O,), medens de Keglesnit, hvori (O) skæres af tz, projiceres i Kegle- 

 snit y. Skæringspunkterne mellem Rumkurven og fi projiceres i Skæringspunkterne 

 mellem G\ og y. Det kommer nu aabenbart kun an paa — selv om ganske vist y 

 er Billede af to Keglesnit paa (O) — al G\ af ethvert Keglesnit ;- højst skærer i 4 

 Punkter. Der eksisterer ingen ikke-algebraisk Kurve af anden Orden, der af et al- 

 deles vi Ikaa ri igt Keglesnit skæres i højst 4 Punkter, thi man kan jo altid lægge el 

 Keglesnit gennem 5 Punkter af G\\ men i del Tilfælde, der foreligger, er ;- heller 

 ikke vilkaarligl, idel del stadig berører to faste reelle eller imaginære Linier a og 

 fc, nemlig Sporene af de lo Tangentplaner lil (O), man kan lægge gennem Linien OOj. 



Vi vil nu først bemærke: 

 (1) Naar lo Kurver af anden Orden højst har 4 Tangenter fælles, vil 



de også a højst have fire Punkter fælles og omvendt. 



Naar de lo Kurver nemlig intet Punkt har fælles, vil de have Ü eller 4 fælles 

 Tangenter; har de to Punkter fælles, vil de ogsaa have to Tangenter fælles; har 

 de 4 Punkler lælles, vil de have Ü eller 4 fælles Tangenter. Af disse Sætninger, der 

 er beviste i „Indledning" Sætn. 4 Side 19, følger (1); tillige bemærkes, at to sammen- 

 faldende Punkter giver lo sammenfaldende Tangenter og omvendt. 



Tager man nu den reciprokke Figur 111 den ovenfor nævnte, der dannes af en 

 ikke-analytisk Kurve af anden Orden i Forbindelse med lo rette Linier a og h, faar 

 man en ny Kurve af anden Orden i Forbindelse med to faste Punkter A og B. Det 

 kommer altsaa an paa al linde en ikke-analylisk Kurve af anden Orden, der af 

 alle de Keglesnit, der gaar gennem lo faste Punkter A og J3, højst skærer i 4 Punkter. 



Vi vil nu forst antage, at A og ß er konjugerl imaginære. Da disse ved en 

 reel Omprojeklion kan bringes til al falde i Cirkelpunkterne, kommer det an paa, 



