53 347 



om der findes ikke-analytiske Kurver aF anden Orden, der af enhver Cirkel højst 

 skæres i 4 Punkter. Man kan nu vise: 



En tilstrækkelig Betingelse for, at en Kurve af anden Orden af en (2) 

 Cirkel højst kan skæres i 4 Punkter (er bicirkulær) er den, at dens 

 Evolut er af fjerde Klasse. 



Lad os antage, at et Punkt M ikke ligger paa Kurven G. En Cirkel med Cen- 

 trum i M og med en tilstrækkelig lille Radius vil da ikke have noget Punkt fælles 

 med Kurven. Vokser Radien, medens Centret bibeholdes, vil der tilkomme 2 Skæ- 

 ringspunkter mellem Cirklen og G, naar den første overskrider en Stilling, hvor 

 den berører G d. v. s. naar en Normal til denne Kurve gaar gennem M. Da der 

 gennem M højst gaar 4 Normaler til G ifølge Forudsætningen, vil der ogsaa højst 

 4 Gange kunne ske Ændringer i Antallet af Skæringspunkter mellem G og Cirklen 

 (med +2 eller — 2 hver Gang). Ifald G nu ligger helt i det endelige, er en Oval, 

 vil man ende med O Skæringspunkter, naar Cirklens Radius er bleven uendelig 

 stor; da den altsaa højst 2 Gange kan have vundet Skæringspunkter ved Over- 

 gangene, vil den i en vilkaarlig af sine Stillinger højst kunne have havt 4 Punkter 

 fælles med Ovalen. 



Selv om G ikke ligger helt i det endelige, kan en Cirkel under den nævnte 

 Betingelse ikke skære i flere end 4 Punkter. I saa Fald vil ganske vist den 

 uendelig store Cirkel skære Kurven i 2 Punkter, men fire Overgange gennem tabte 

 og vundne Punktpar tillader, som man let ser, heller ikke her, al Cirklen i en 

 Mellemstilling har skaaret i 6 Punkter. 



Beviset er ogsaa gyldigt i del Tilfælde, al Centret M ligger paa Kurven. I saa 

 Fald begynder den tilstrækkelig lille Cirkel med Centrum i M ganske vist med at 

 skære i 2 Punkter, men gennem M gaar da ogsaa kun 3 Normaler foruden Nor- 

 malen i selve Punktet M. 



Vi skal nu sé, at der foruden Keglesnit eksisterer Kurver af anden Orden, 

 hvis Evolut er af fjerde Klasse. Man behøver til det Brug kun at bestemme en 

 vilkaarlig endelig fuldstændig kontinuert Kurve af anden Orden og til den tegne to 

 paa hinanden vinkelrette Tangenter. Lad Røringspunkterne være A og ß, medens Tan- 

 genterne skære hinanden i O. Ved affine Transformationer kan man aabenbart give 

 Stykker OA og OB aldeles vilkaarlige Værdier. En Evolvent A, /i, til denne Bue be- 

 gyndende i et Punkt A^ af OA udenfor det endelige Stykke OA maa være en elementær 

 Bue, da den hverken har Spidser, Inlleksionspunkter, Dobbeltpunkler eller Dobbelt- 

 tangenter, og Tangenterne i Aj og Bi ikke yderligere kan skære Kurven. Man kan 

 dernæst i de andre Kvadranter dannede af de lo paa hinanden vinkelrette Linier 

 OA og OB tegne elementære Buer, der paa fuldstændig kontinuert Maade men med 

 Spidser i A og ß slutter sig til den første. Man faar derved bestemt en Kurve 

 ABCD, der er af fjerde Klasse. Fra O og altsaa fra ethvert Punkt („indeni" Kurven), 

 hvortil man kan komme fra O uden at overskride Kurven ABCD, udgaar nemlig 

 4 Tangenter. Fra ethvert Punkt ., udenfor" Kurven udgaar der derfor 2 Tangenter. 

 Af Evoluterne A^B^, B^C^, C^D^ og D^A^, til de fire Buer AB, BC, CD og DA 



