55 349 



Vi vil nu holde os til den Antagelse, at den ene af Kuglerne er en Keglesnitskegle; 

 man kan da ved Hjælp af Dr. Böhmes ovennævnte Sætning komme væsentlig videre. 

 Denne kan nemlig i Henhold til det foregaaende udtrykkes paa følgende Maade: 



Der eksisterer Ovaler, der af enhver H j' per bel skærer i hojst (4) 

 4 Pu nk ter. 



En Hyperbel er et Keglesnit, der gaar et uendelig fjernt (selvfølgeligt reelt) Punkt. 

 Da et vilkaarligt Punkt ved en Omprojektion altid kan bringes til at falde uendelig 

 fjernt, kan man, naar et vilkaarligt fast Punkt P i Planen er givet, altid bestemme 

 en analytisk eller ikke analytisk Kurve af anden Orden, der af ethvert Keglesnit, 

 der gaar gennem P, skæres i højst 4 Punkter. Med Benyttelse af (1) har man 

 da ogsaa : 



Naar en ret Linie / i Planen er givet, kan man altid finde en (5) 

 Kurve T af anden Orden, der af ethvert Keglesnit, der berører /, højst 

 skæres i 4 Punkter. 



Vi maa lægge Mærke til, at ifølge Konstruktionen vil Punktet P altid ligge 

 udenfor den konstruerede Kurve, ligesom ogsaa / vil skære sin tilsvarende Kurve /'. 



Lad nu / og F høre sammen paa den nævnte Maade, og lad m være en vil- 

 kaarlig rel Linie i deres Plan, der skærer I i S. Man lægger et vilkaarligt fast 

 Keglesnit y, der berører / og m og desuden skærer F. Paa en ret Linie, der gaar 

 gennem S men ikke ligger i Planen (Zni) vælges endvidere to faste Punkler A og B. 

 De to Kegler (Ay) og (BF) vil da skære hinanden i en Rumkurve af fjerde Orden. 

 Da (Ay) aabenbart kan være en aldeles vilkaarlig Keglesnitskegle, har man allsaa: 



Paa enhver forelagt Keglesnitskegle kan bestemmes en ikke a n a 1 y - (6) 

 tisk R u m k u r V e af f j e r d e Orden som S k æ r i n g s 1 i n i e med en ikke analy- 

 tisk Kegle af anden Orden. 



Lad /' paany være en Kurve af anden Orden, der af alle de Keglesnit, der 

 gaar gennem et givet Punkt A udenfor Kurven, skærer i højst 4 Punkter. Er ß 

 el vilkaarligt fast Punkt af F, vil denne allsaa af Keglesnit, der gaar gennem A og 

 B højsl skæres i 3 Punkter udenfor B. Lad os nu gennem A og B drage 2 Linier 

 CA og CB, der skærer hinanden i C og ikke ligger i /°s Plan. Gennem disse lo 

 Linier lægger vi en Hyperboloide; denne vil af Keglen {CF) skære i en Rumkurve 

 af tredie Orden, hvilket man ser ved at projicere fra C. Man har allsaa : 



Paa en vilkaarlig Hyperboloide findes der ikke-analytiske Rum- (7) 

 kurver af tredie Orden. 



I Beviset for (6) er der intet i Vejen for, al man kan lade den der benyttede 

 rette Unie m være en Tangent til F. Rumkurven R* faar derved et Dob- 

 beltpunk 1. Projicerer man Kurven fra dette Punkt C ind paa en Plan, faar man 

 en ny Kurve af anden Orden /\. Projektionerne af plane Snit i Keglen (Ay) bliver 

 Keglesnit, der alle berører den faste Linie m i et fast Punkt (/n . AC). Tager man 

 nu den reciprokke Figur til den herved bestemte, faar man: 



Der eksisterer ikke-analytiske Kurver /', af anden Orden, der af (8) 

 alle de Iv e g 1 c s n i t , (1er g a a r g e n n e m et bestemt fast P u n k I A a f K u r \' e n 



