350 56 



og der har en fast Tangent o (der ikke berorer ^^), højst skærer i 3 

 Punkter foruden i A. 



Ved Hjælp af denne Sætning kan man let bevise: 

 (9) Paa enhver Keglesnit skegle findes ikke-analyliske Ru m kurver 



af tredi e O rden. 



Lad os nemlig gennem det i Sætning (8) nævnte Punkt A drage en ret Linie, 

 som ikke ligger i Plan med T,, og lad os paa denne Linie vælge to Punkter B og 

 C. I Ti 's Plan lægger vi et Keglesnif y, der i A berører den i Sætningen nævnte 

 Linie a. De to Kegleflader {B . fi) og (C . ;-) vil da skære hinanden i en Rumkurvc 

 af tredie Orden, hvilket ses ved Projektion fra B. 



I det foregaaende har vi vist, at der eksisterer ikke-analytiske Kurver af den 

 Bcskaflenhed, at de af alle de Keglesnit, der gaar gennem et Punkt A af Kurven 

 og desuden et Punkt B udenfor denne, højst skærer i 3 PunktL-r udenfor A. Men 

 det har stadig været Forudsætningen, at Punktet B ligger udenfor Kurven. Ved 

 Sætning (8) er vi dog kommet noget videre, idet det viser sig, at man ogsaa kan 

 lade A og B falde sammen. Vi har i det følgende ogsaa Brug for den Mulighed, 

 at B ligger indeni Kurven; Spørgsmaalet er, om saadanne Kurver af anden Orden 

 eksisterer som ikke-analytiske. Det er ikke lykkedes mig at give et virkelig tilfreds- 

 stillende Revis for denne Eksistens; følgende Slutninger gør den dog sandsynlig. Vi 

 gaar her ud fra den i (8) nævnte Kurve T, ; lad den der nævnte Linie a, der blot 

 ikke maatte være Tangent til Tj, skære denne Kurve anden Gang i B. Naar vi i 

 det følgende taler om et Liniestykke mener vi dermed hidbegrebet af alle Linie- 

 stykkels Punkter, Endepunkterne medindbefattede. Vi antager endvidere, at ^^ 

 ligger helt i det endelige, hvilket i hvert Fald kan opnaas ved en Omprojeklion; 

 de omtalte Liniestykker skal da ogsaa overalt være endelige. Det, som det kommer 

 an paa at vise, er, at der findes et endeligt Liniestykke AX, der ligger indeni f\, 

 af den Beskafl'enhed, al ethvert Keglesnit, der gaar gennem A og et Punkt af AX, 

 højst kan have 4 Punkter fælles med Tj. Hele Liniestykket AB kan ikke være et 

 Liniestykke AX, thi gennem A og ß kan man sikkert lægge Keglesnit, der har (5 

 Punkler fælles med 1\. Vi tager da Midtpunkterne B,, B„, B.^ . . . af Aß, Aß,, AB... 

 Paa den Maade maa man engang komme til et endeligt Liniestykke ABr, der kan 

 benyttes som et Stykke AX. Naar nemlig et Punkt Y langs a konvergerer mod A, 

 maa et Keglesnit ;-, der gaar gennem A og Y, konvergere mod at tilhøre en Sam- 

 ling af Keglesnit, der bestaar af: \) de Keglesnit, der berører a i A, 2) de Liniepar, 

 der har A til Dobbeltpunkt, 3) de Dobbeltlinier, der gaar gennem A. Men ingen af 

 disse kan have flere end 3 fra A forskellige Punkter fælles med Kurven; del er da 

 heller ikke muligt, at y kan have det. (Man ser, at vi ikke har paavist nogen be- 

 stemt Grænseslilling for en vis Række Keglesnit 7-, ligesom i Tilfældet 3) Grænse- 

 stillingen kan berøre i A og samtidig have Toppunkt i A). 



Ad selvsamme Vej kan man paavise, al naar en Kurve af alle de Keglesnit (i 

 en vis Samling), der gaar gennem et Kurvepunkl A, skærer i højst s Punkler 

 udenfor A, saa maa man kunne finde et Punkt A' i endelig Afstand fra A af den 



