57 351 



Beskaffenhed, al Kurven af ethvert Keglesnit i Samlinger, der gaar gennem A og .Y, 

 højst skæres i s -f- 1 Punkter. 



Vi vil nu sé paa Eksistensen af Rumkurver af fjerde Orden med Trisekanter 

 beliggende paa en Hyperboloide. Vi gaar her atter ud fra en Kurve /' af anden 

 Orden, der indeholder et Punkt A af den Beskaffenhed, at /'af ethvert Keglesnif, 

 der gaar gennem A og et andet fast Punkt B, højst skæres i 3 Punkter udenfor A. 

 Vi vælger dernæst i Figurens Plan et fast Punkt C udenfor /' saaledes, at den rette 

 Linie BC skærer /' i to Punkter. Vi vil nu paa F anvende en kvadratisk Trans- 

 formation med A, B 0% C til Grundpunkter; man kan f. Eks. vælge en involutorisk 

 Transformation, der lader hvert af Punkterne A, ß og C uforandret. Efter de 

 gjorte Forudsætninger maa F gaa over i en Kurve af tredie Orden F^, der har A 

 til Dobbeltpunkt, og gaar én Gang gennem hvert af Punkterne B og C. Endvidere 

 vil F^ af ethvert Keglesnit a, der gaar gennem A og B, udenfor disse Punkler højst 

 skæres i 3 Punkter. I Henhold til de foregaaende Bemærkninger kan man nu ogsaa 

 i Nærheden af B finde el saadanl Punkt B^, al /"■* af ethvert Keglesnit, der gaar 

 gennem A og ßj, udenfor A højst skærer i 4 Punkler (af hvilket det ene kan ligge 

 nær vedßj). Vælger man nu udenfor Figurens Plan to rette Linier AD og BD, der 

 skærer hinanden i et Punkt D, vil en Hyperboloide lagt gennem disse rette Linier, 

 skære Keglen {D . P) i en Rumkurve af fjerde Orden med Trisekanter. Naar B kan 

 ligge vilkaarligt i Forhold til /; er det muligt, al der fra ßj kan udgaa Ü, 2 eller 4 

 Tangenter til f'* o: 



Paa en vilkaarlig Hyperboloide findes ik ke-analy tiske Kurver (10) 

 af fjerde Orden med O, 2 eller 4 berørende Trisekanter. 



Ved fortsat Anvendelse af kvadratiske Transformationer i Forbindelse med det 

 Middel, at man erstatter et Kurvepunkt med et nærliggende udenfor Kurven, kan 

 man dernæst ogsaa vise Eksistensen af de Kurver af n-te Orden paa en Hyper- 

 boloide, vi i det foregaaende har behandlet '). 



Vi har i vore tidligere Raisonnementer benyttet os af, at Kurven var sammensat 

 af visse elementære Buer d. v. s. Dele af Kurver af tredie Orden. Vi bemærker 

 i den Anledning, at ved de Kurver, hvis Eksistens vi har godtgjort, er Antallet af 

 Hyperoskulationspunkter bestemt uafhængig af en saadan Forudsætning. Der er 

 altsaa et endeligt Antal af disse Punkter paa hver Kurve. Men deraf følger, at man 

 om ethvert Punkt, der ikke netop er et af Hyperoskulationspunkterne, kan afgrænse 

 et saadant Gebet af Kurvepunkter, at ikke fire af disse kan ligge i en Plan /'. 



§ 13. 

 Nogle Sætninger om Flader. 



En vindskæv Flade frembringes af rette Linier, hvis Stillinger hyppigst be- 

 stemmes ved, al Linien stadig skal skære Ire givne Ledelinier. Indeholder en Flade 

 af anden Orden en ret Linie f, vil en vilkaarlig Plan gennem denne desuden skære 



') Det benyttede Middel er det naturligvis ikke min Mening at tillægge en fuldt eksakt Karakter. 



U. K. I). Vidcnsk.Selsk. Skr,. 7. Hække, nalurvidensk. og mathem. Afd. I. 6. 46 



