352 58 



Fladen i endnu en rel Linie j/. Forudsættes det nu, at Fladen ikke er en Kegle- 

 flade, ser man let herved, at Fladen maa indeholde lo Systemer af rette Linier 

 saaledes, at en vilkaarlig Linie af det ene System skærer en vilkaarlig af del andet. 

 Defineres en Flade af ;i-le Orden som en saadan Flade, der af en vilkaarlig ret 

 Linie skæres i højsl n Punkler — et Antal der skal kunne naas, — medmindre da 

 Linien (én eller flere Gange) har uendelig mange kontinuert paa hinanden følgende 

 Punkter fælles med den, har man altsaa: 



(1) En vindskæv F"lade af anden Orden maa nødvendigvis være 

 algebraisk. 



Derimod findes der naturligvis ikke-analytiske Flader af anden Orden, naar 

 disse ikke er vindskæve. Tiltrods for, at dette ligger noget mere til en Side, vil jeg 

 udtrykkelig vise, at der findes ikke-analytiske Omdrejningsflader af anden Orden; 

 af disse kan man ved projektive Transformationer udlede andre, der ikke behøver 

 at være Omdrejningsflader. Lad Onidrejningsaksen være a; en Plan gennem denne 

 maa skære Fladen i en Kurve af anden Orden, der har a til Symmetriakse. Man 

 har da : 



(2) En Omdrejningsflade, hvis Meridiansnit er en Kurve af anden 

 Orden med Omdrejningsaksen til Symmetriakse, er af anden Orden, 

 saafremt Symnietrilin ien skærer Kurven; saafreml den ikke gør del, 

 er Fladen ikke af anden Orden, medmindre den da er algebraisk. 



En ikke-analytisk Flade af anden Orden maa for det forste være konveks i 

 den Forstand, al ingen Tangentplan til den kan have noget l^unkl udenfor Rørings- 

 punktet fælles med Fladen. I modsal Fald vilde nemlig Forbindelseslinien mellem 

 Røringspunktet og et yderligere Skæringspunkt være en ret Linie, der med vore 

 sædvanlige Vedtægter havde flere end 2 Punkter fælles med Fladen. Denne blev 

 da vindskæv og altsaa algebraisk. 



Hvis nu — idet vi gaar over til Beviset for (2) — Meridiankurven G- ikke 

 skar Omdrejningsaksen a, maatle der i hvert Fald findes (mindst) ét Punkt A af 

 Kurven, der laa nærmesl ved Aksen. Men da Tangentplanen i et saadant Punkt 

 aabenbart vilde skære Fladen, maatle denne enten være algebraisk eller af højere 

 end anden Orden. 



Lad os dernæst antage, at a skærer G" i et Punkt A. Tangentplanen « i delle 

 Punkt maa staa vinkelret paa Aksen og den vil kun have Punktet A fælles med 

 Fladen. Der vil altsaa sikkert findes Planer, som ikke har noget Punkt fælles med 

 Fladen. Man kan derfor i hvert Fald efter en let bestemmelig Cenlralkollinealion 

 gaa ud fra, al G- ligger helt i det endelige. 



Naar nu en ret Linie / skærer Aksen, ser man straks, at den højest kan have 

 2 Punkler fælles med Fladen. For dernæst at bestemme Skæringspunkterne mellem 

 Fladen og en ret Linie /, der ikke skærer a, drejer vi efter den sædvanlige Methode 

 i den deskriptive Geometri I^inien / om a og danner derved en Omdrejningshyper- 

 boloide; lad dennes Meridiankurve i den Plan, hvori G^ tænkes at ligge, være en 

 Hyperbel H- med a til transvers Akse. Skæringspunkterne mellem G'^ og H" be- 



