354 60 



(3) En vindskæv Flade af tredie Orden har altid en relliniet Dob- 

 belllinie. 



Den kan i hvert Fald ikke have en kruniliniet Dobbelllinie, da en plan Kurve 

 af tredie Orden, der ikke indeholder en ret Linie, ikke kan have (lere end ét 

 Dobbeltpunkt. Lægger man nu gennem en vilkaarlig Frembringer /", en Plan/j, vil 

 denne foruden i f\ skære Fladen i en Kurve af anden Orden; denne skærer f^ for 

 det første i Planens Røringspunkt og den maa derfor skære f^ i endnu ét Punkt iV,. 

 Paa samme Maade faas et analogt Punkt N^ paa en anden Frembringer /'.,. Linien 

 JVjiVa = d maa være en Dobbeltlinie paa Fladen. 



Naar en ret Linie/ skærer en vindskæv Flade i Punkterne M^, M.^, . . Mn, vil de 

 Planer, man kan lægge gennem / og de gennem M,, M„, .. M„ gaaende Frembringere 

 være Tangenlplaner. Man ser herved (som bekendt): 



(4) En vindskæv Flades Orden og Klasse er ligestore — og omvendt. 

 Den dualistisk tilsvarende til en vindskæv Flade af tredie Orden maa derfor 



paany være en Flade af tredie Orden ; en saadan vil derfor ogsaa altid indeholde 

 en ret Linie d' af den Beskaffenhed, at enhver Plan, der gaar gennem d' og et 

 udenfor d' liggende Punkt af Fladen, er en Dobbelttangentplan eller indeholder to 

 Frembringere. 



Af den Maade, hvorpaa vi har bestemt d og d', følger aabenbart, at enhver 

 Frembringer maa skære baade d og d'. Lægger vi nu gennem en vilkaarlig fast 

 Frembringer fi en Plan, der foruden i /■, skærer i en Kurve af anden Orden G^, 

 har man i (/, d' og G^ tre Ledelinier for Fladen. Den sædvanlige Konstruktion af 

 Frembringere viser, at ikke hele Linien d behøver at ligge paa Fladen. Ifald Skæ- 

 ringspunktet mellem G^'s Plan og d' ligger udenfor G^, kan man gennem d' lægge 

 to Røringsplaner til G-, hvis Skæringspunkter med d bestemmer det Stykke af d, 

 der ligger paa Fladen; Stykkets Endepunkter kaldes Kuspidalpunkter. Det er mu- 

 ligt, at d og d' falder sammen saaledes, at de bestemmer et givet vindskævt Element. 

 Ogsaa i dette Tilfælde kan man aabenbart bestem.me en vindskæv Flade ved d, d' 

 og Go, men gennem hvert Punkt af d gaar i saa Fald kun én Frembringer. Man kan 

 derfor sige, at i dette speeielle Tilfælde falder en Dobbeltlinie og en sædvanlig 

 Frembringer sammen i d. 



Vi vil nu sé, om der eksisterer ikke-analytiske vindskæve Flader af tredie 

 Orden. Vi maa da ifølge ovenstaaende vælge to rette Ledelinier (/ og (/', af hvilke 

 den ene d i et Punkt A skærer en Kurve G^ af anden Orden og lade G'^ være den 

 tredie Ledelinie. Lad nu M være et Skæringspunkt mellem Fladen F'' og en vil- 

 ret Linie I i Rummet. Gennem M gaar en Frembringer, der skærer d, d', I og G-. 

 Man maa derfor faa alle Skæringspunkterne mellem / og F^ ved al lægge en Hyper- 

 boloide gennem d, d' og / og bestemme dennes Skæringspunkter med G'-. Til hvert 

 af disse Skæringspunkter svarer paa gensidig entydig Maade et SkæMingspunkt 

 mellem F'* og /. Men Hyperboloiden skæres af G -'s Plan i et Keglesnit, der gaar 

 gennem A og Sporet A' af d' i samme Plan. Omvendt vil ethvert Keglesnit gennem 

 A og A' kunne være Spor af en Hyperboloide gennem d, d' og en eller anden ret 



