INDLEDNING. 



IN ærværende Arbejde tilstræber en lignende Bearbejdelse af Grundlaget for 

 Fladernes Geometri som den, jeg tidligere har gennemført for Kurvernes Vedkom- 

 mende'). Ogsaa her viser del sig, at det foreliggende analytiske Grundlag gennem- 

 gaaende har for ringe Tilknytning til de geometriske Former. Hvilke Flader, det 

 egentlig er, man behandler, naar man regner med de sædvanlige fundamentale 

 Difïerentialformer, er næppe nogensinde undersøgt, og en naturlig geometrisk De- 

 finition af Fladebegrebet som Udgangspunkt for Anvendelsen af disse DilTerenlial- 

 former næppe forsøgt. I det følgende skal nu gives et Bidrag til at udfylde denne 

 Mangel. 



Saalænge der er Tale om endimensionale Varieteter har det vist sig, al For- 

 merne fik den naturligste Afgrænsning gennem Principet om de monotone Dannelser. 

 Som den simpleste Kurvetype i en endelig Del af Planen vælger man saaledes en 

 Kurve, som i ethvert af sine Punkter har en bestemt Tangent med modsat rettede 

 Halvtangenter (bortset fr^ Kurvens Endepunkter), hvis Retning varierer monotont 

 eller i hvert Fald afdelingsvis monotont, naar Røringspunktet monotont gennem- 

 løber Kurven. Dette leder til, at man i Hovedsagen som den simpleste Type for 

 dobbeltkrumme Flader vælger en saadan Flade, som i ethvert af sine Punkter har 

 en bestemt Tangentplan (der udfyldes af alle Halvtangenter i Punktet), altsaa ogsaa 

 en bestemt Normal, idet man yderligere forlanger, at Punktet paa Fladen og den 

 tilhørende Normais Retning i Rummet skal svare kontinuert og en-entydig (eller 

 i hvert Fald afdelingsvis en-entydig) til hinanden. Dette kan — under Brug af 

 kendte Udtryk — ogsaa formuleres saaledes, at den sfæriske Afbildning foruden at 

 være kontinuert skal være en-entydig, i hvert Fald afdelingsvis. 



Dernæst stiller man visse Krav til Krumningsforhold. Som Grundlag for de 

 herhen hørende Bestemmelser plejer man at benytte Krumningen af visse Kurver 

 paa Fladen (Normalsnil, Hovedsnil o. s. v.) eller rettere udtrykt, højere DilTerential- 

 kvotienter af de Funktioner, hvorved man tænker sig Fladen analytisk fremstillet. 



') J. Hjelmslev: Darstellende Geometrie, Leipzig 1914 (H. E. Tlmehding: Handbuch d. angew. 

 Math,, II. Teil); Introduction à la théorie des suites monotones (Oversigt o. d. kgl. danske 

 Videnskabernes Selsk. Forh. 1914 Nr. 1;; Die Geometrie der Wirklichkeit {Acta mathemalica 

 1914j; Contribution à la géométrie infinitésimale de la courbe réelle (Oversigt o. d. 

 kgl. danske Videnskabernes Selsk. l'orlL 1911 Nr. 5). 



V 



