Det ligger nær at begynde med al forlange, at del dobbelte System af Frembringer- 

 kurver, som i Regelen naturlig frembyder sig baade ved analytiske og syntetiske 

 Undersøgelser, overalt har bestemt, kontinuert varierende Krumning. Men dette 

 vil, som bekendt, ikke give tilstrækkelige Betingelser for, at alle Normalsnit i et- 

 hvert Punkt af Fladen har bestemte Krumninger. Det er saaledes f. fZks. ikke til- 



d^z 5=2 . . . , 



strækkeligt for Fladen z = f {x, y), at 0770 og k-^ eksisterer og varierer kontinuert med 



{x, y); man maa ogsaa som independent Betingelse optage Eksistensen og Kontinu- 

 iteten af o^ , hvis geometriske Betydning ikke umiddelbart frembyder sig. Der 



opstaar derfor Spørgsmaal om et naturligere Udgangspunkt for Krumningsbestem- 

 melserne. Og et saadant finder man ved at sætte den sfæriske Afbildning og den 

 saakaldte Flexion i Forgrunden. Man forlanger for det første, at der paa Fladen 

 findes 2 Systemer af Frembringerkurver med kontinuert varierende Halvtangenter, 

 saaledes at de tilsvarende Kurvesystemer i den sfæriske Afbildning ogsaa har kon- 

 tinuert varierende Halvtangenter, og dernæst, at der i hvert Punkt af Fladen langs 

 hver af de gennem Punktet gaaende Frembringerkurver skal eksistere en bestemt 

 Flexionsradius, d. v. s. en bestemt Grænseværdi for Forholdet mellem en mod 

 Nul konvergerende Bue paa Frembringerkurven og den tilsvarende Bue i den 

 sfæriske Afbildning, hvilken sidste Bue er lig Vinklen mellem Fladens Normaler i 

 den først nævnte Bues Endepunkter. Den reciproke Værdi af det nævnte Forhold 

 kaldes Flexionen i det betragtede Punkt langs vedkommende Kurve. Naar der 

 for hvert Punkt af Fladen eksisterer 2 saadanne Flexioner (rpé: O og 00 ), svarende til 

 de to Frembringerkurver gennem Punktet, og disse F'lexioner varierer kontinuert 

 med Punktet, viser det sig, at Fladen opfylder de sædvanlige Betingelser, som 

 knytter sig til Anvendelsen af de saakaldte Fundamentalformer. I det følgende 

 bliver delte paavist i Enkeltheder, og samtidig gennemføres en Undersøgelse over 

 de Egenskaber af rent geometrisk Natur, som knytter sig til det definerede Flade- 

 begreb. 



Til sidst defineres som almindelig Type for de ukonvekse Flader en saadan 

 Flade, hvis Hovedlangenler kun har eet Punkt (Røringspunktet) fælles med Fladen. 

 Og det paavises, at Hovedlangentkurverne paa saadanne Flader altid er simple 

 Rumkurver, saaledes at det ene System overall er snoet venstre om, medens det 

 andet overalt er snoet højre om. Tillige vises det, al Omegnen af hvert Punkt paa 

 en saadan Flade højst har 3 Punkter fælles med en rel Linie. Endelig opstilles 

 analytiske Betingelser for, at en Flade tilhører den nævnte Type. 



Til sidst gives nogle vigtige infinitesimal-geometriske Sætninger angaaende 

 plane Kurver med Vendepunkter, som Indledning til forskellige Undersøgelser over 

 Kruiuningsforhold paa Fladen. 



