6 



Fig. 1. 



I ethvert Punkt P af et simpelt Flad stykke findes en til Punktet 

 entydig svarende T a n g e n t p 1 a n //, indeholdende samtlige Grænse- 

 stillinger for de rette Linier, som 

 forbinder P med variable mod P kon- 

 verger e n d e F 1 a d e p u n k t e r . Tangent- 

 planen er bestemt ved Tangenterne 

 til de to Frembringerkurver i P og 

 varierer derfor kontinuert med P. 



Vi kan endvidere tilføje, at i ethvert indre 

 Punkt af Fladestykket vil Tangentplanen have 

 alsidig Berøring med Fladen, d. v. s. alle 

 Halvlinier, der udgaar fra P og ligger i Tan- 

 gentplanen, er Grænsestillinger for Halvlinier, 

 der udgaar fra P og indeholder variable mod 

 P konvergerende Fladepunkler. I et Randpunkt 

 vil derimod kun en bestemt Halvplan eller et 

 Udsnit af Tangentplanen komme i Betragtning. 



3. Naar to variable Punkter A og B af et simpelt Fladestykke 

 konvergerer mod en fælles Grænsestilling P, vil enhver Grænsestil- 

 ling for den rette Linie AB nødvendigvis ligge i Punktet P's Tangent- 

 plan. 



Bevis: To Frembringerkurver a og ft af modsat Art gennem henholdsvis A 

 og B skærer hinanden i C, der foreløbig antages forskellig fra A og B. En Plan 

 gennem A, B og C maa nu være parallel med to Tangenter til Buerne henholdsvis 

 AC og BC paa Kurverne a og b, og da disse to Tangenter ved Grænseovergangen 

 konvergerer mot! de to Frembringerkurvers Tangenter i P, vil Planen ABC altsaa 

 konvergere mod Tangentplanen i P, og herved er Sætningen bevist. Det Tilfælde, 

 hvor C falder i A eller B, behandles let. 



Korollar: Naar ;5 forskellige Punkter A, B, C paa et simpelt Flade- 

 stykke konvergerer mod samme Punkt P, og ingen Grænsestilling 

 for AB er sammenfaldende med en Grænsestilling for BC, vil Planen 

 ABC konvergere mod Tangentplanen i P. 



4. Det er nu klart, at man, svarende til enhver Retning r, som ikke er pa- 

 rallel med Tangentplanen i Punktet P, maa kunne afgrænse en saadan Omegn ß 

 omkring P, at der inden for ß ikke findes noget Punkt, hvis Tangentplan er pa- 

 rallel med r, og saaledes, at ingen Forbindelseslinie mellem 2 Punkter i X? er parallel 

 med r; i et retvinklet Koordinatsystem, hvis :-Akse er parallel med r, kan man da 

 fremstille ä ved en Ligning af Formen z = f (x, y), hvor begge Difîerentialkvo- 



ÔZ dz . 

 tienterne o^ og ^ eksisterer og er kontinuert varierende nud Værdiparret {x, y). 



At omvendt en Ligning af denne Form og under de nævnte Betingelser, inden for 

 et passende sammenhængende Omraade omkring hvert Punkt, fremstiller et simpelt 



