9 



Det er under Hensyn hertil, at vi i det følgende stadig indskrænker Under- 

 søgelserne til simple Fladestykker, eller endog inden for disse foretager yderligere 

 konventionelle Afgrænsninger af de Omraader, som tages op til Undersøgelse. 



8. Vi betragter nu den sædvanlige Gauss'iske Afbildning af Fladen, idet vi 

 vælger en Kugle, hvis Radius er lig Længdeenheden, og til hvert Punkt P paa 

 Fladen lader vi svare et Punkt P' paa Kuglen, saaledes, al Fladen og Kuglen i P 

 og P' har parallele Normaler, altsaa ogsaa parallele Tangentplaner. Til hvert Punkt 

 P vil man paa denne Maade have Valget mellem to tilsvarende diametralt mod- 

 satte Punkter P' paa Kuglen, beliggende paa en Diameter p, der svarer entydig til 

 P. Vi gør nu den Antagelse, at man paa Fladen kan afgrænse et Omraade 

 (i, i hvilkel P er et indre Punkt, og som ikke indeholder 2 forskellige 

 Punkter med parallele (eller sammenfaldende) Tangent planer. Lader 

 man P variere paa vilkaarlig Maade inden for dette Omraade, vil den tilsvarende 

 Diameier p i Kuglen variere saaledes, al den er bundet til et vist konisk Rum, og 

 da p varierer kontinuert med P, kan man vælge i2 saa lille, at den spidse Vinkel 

 mellem lo Kuglediamelre inden for dette koniske Rum i Størrelse ikke kan over- 

 skride en vis vilkaarlig valgt spids Vinkel s, og det nævnte koniske Rum vil da 

 aabenbart kunne overskæres med en Plan saaledes, at Snittet bliver et plant Om- 

 raade i^i, der ligger helt i det endelige. Projiceres nu dette Omraade S^ ved Halv- 

 linier, der udgaar fra Kuglens Centrum, ind paa Kuglens Overflade, vil man derved 

 faa bestemt et Omraade // paa Kuglen, der svarer en-entydig til ß. Paa denne 

 Maade kan man altsaa omkring Punktet P paa Fladen afgrænse el Omraade, som 

 ved passende Valg af den sfæriske Afbildning transformeres en-entydig ved denne. 

 Til en Kurve k i ß vil svare en Kurve k' \ Q' ; er k uden Dobbeltpunkter, vil k' 

 ogsaa være det, og omvendt. Retragler man 2 Punkter P og O af A- og de til- 

 svarende Punkter P og Q' af Ar', og lader man Q konvergere mod P langs Kurven 

 k, saa at Q' samtidig konvergerer mod P' langs k' , da kan der blive Tale om en 

 Grænseværdi for Forholdet mellem Længden af Buen PQ paa k og den sfæriske 

 Afstand (eller den retlinede Afstand) PQ' paa Kuglen, hvilken sidste Afstand maales 

 ved Vinklen mellem Fladens Normaler p og q \ P og Q. En saadan Grænseværdi 

 betegnes som Fladens Flexionsradius i Punktet P langs Kurven A*, medens den 

 reciproke Værdi: 



,. PQ ,. (pq) 



betegnes som Flexionen i P langs k. 



9, Vi vil nu gaa ud fra, at det foreliggende simple Fladeslykke opfylder føl- 

 gende Betingelser: 



L Fladestykket har en en-entydig sfærisk Afbildning; ved denne 

 Afbildning transformeres Fladestykket til et simpelt Fladestykke 

 paa Kuglen, saaledes at det oprindelige Fladeslykkes 2 Systemer af 

 Frembringerkur ver føres over i Frembringerkur ver paa det sfæriske 



D. K. D. Vid ensk. Sclsk. Skr. 7. Ka-kke, naturvidensk. og matliem. Afd. XII 1. 2 



