16 



bevæger sig paa rette Linier ind imod P; da de rette Linier A'S', A'T (se Figuren, 

 hvor S og T' er valgt paa k' paa modsat Side af A' og senere konvergerer mod 

 dette Punkt) nærmer sig tiL Grænsestillinger, der er parallele med A^S^ og A^T^, 

 og da Tangenten til k' i A altsaa maa nærme sig til en eller flere Grænsestillinger, 

 hvis Retning ligger mellem Retningerne A^S^ og T^A^, og dette skal gælde, hvor 

 nær man end vælger Sj og T-^ ved A^, naar de blot ligger paa modsat Side aî A^, 

 saa kan man heraf slutte, at enhver Grænsestilling for Tangenten i A' til k' maa 

 være parallel med en Støttelinie til /<•, i Aj. Da nu endvidere Tangenten til k' i 

 A' er parallel med Skæringslinien mellem Tangenlplanerne i A og i P, og da sidst- 

 nævnte Skæringslinie ved Grænseovergangen konvergerer mod en bestemt Retning, 

 nemlig den vinkelrette paa den til Tangenten t^ svarende Tangentretning i den 

 sfæriske Afbildning, ses det herved, at der i ethvert Punkt A, maa tindes en Støtte- 

 linie / til /fj, saaledes, at Retningerne t er projektivt forbundne — og altsaa kon- 

 tinuert forbundne — med de tilsvarende Retninger PA^. Heraf følger da for det 

 første, at k■^ maa have en bestemt Tangent i hvert Punkt, og at denne Tangent saa 

 naturligvis er sammenfaldende med den nævnte Stoltelinie t. Men dernæst kan 

 man vise, at k^ maa være en Ellipse. Vi har jo indtil videre forudsat, at alle 

 Krumningsradier i P er endelige. Det er da umuligt, at 2 til hinanden svarende 



f 

 Retninger / og /j kan falde sammen, da dette netop vilde medføre, at p= — - — 



(a = -) vilde blive uendelig (smig. 13), og da de nævnte Retninger er projektivt 



forbundne, vil den givne Flade ved en passende alfin Transformation kunne føres 

 over i en anden konveks Flade, hvor de transformerede Retninger t og /j danner en 

 konstant Vinkel med hinanden. Ved denne Transformation gaar Ovalen /Cj over i en 

 anden Oval k\, hvor Vinklen mellem en radius vector og Tangenten i dens Ende- 

 punkt er konstant. Men en saadan Kurve maa nødvendigvis være en Cirkel, og 

 den oprindelige Kurve k^ er da en Ellipse. 



16. Ved denne Undersøgelse var det en Forudsætning, at Kurven /Ci forløber 

 helt i det endelige, altsaa at alle Normalsnit i P har endelig Krumningsradius. 

 For at gøre Undersøgelsen fuldstændig bliver det derfor nødvendigt, at man betragter 

 følgende Muligheder: 



1. Der gives eet og kun eet Normalsnit i P med uendelig stor 

 Krumningsradius. Indicatrix k^ vil i dette Tilfælde bestaa af to parallele 

 Linier l^, L, i samme Afstand fra P. Det følger nemlig umiddelbart af de samme 

 indledende Betragtninger, som vi anstillede ovenfor angaaende Omraadet ß i det 

 almindelige Tilfælde, at men ogsaa her maa faa med et konvekst Omraade at gøre, 

 og da dettes Begrænsning k^ nu skal have eet og kun eet uendelig fjernt Punkt, 

 maa den bestaa af 2 parallele rette Linier. Ligesaa ser man videre ved Hjælp af 

 de foregaaende almindehge Betragtninger over Forbindelsen mellem / og fj, hvilke 

 Betragtninger let overføres paa det foreliggende Tilfælde, at den konjugerede Kurve 

 til en hvilken som helst fra /j, l^ forskellig Retning r maa have en Tangent i P, 



