19 



liæng, der er mellem tilsvarende Tangenlretninger paa Fladen og i den sfæriske 

 Afbildning, saaledes at en Halvdiameter PM i Ellipsen betragtet som Tangentret- 

 ning paa Fladen svarer til en Tangentretning i den sfæriske Afbildning, som angives 

 ved den tilsvarende Diameter PN i Cirklen. Dette ses nemlig at være rigtigt, naar 

 PM specielt \a'lges paa PA eller PB, og saa maa det jo ogsaa gælde for andre 

 Stillinger. 



V. Ukonvekse Fladepunkter. 



19. Naar der paa en given Normflade inden for enhver Omegn af Flade- 

 punktet P findes andre Fællespunkter for Fladen og Tangentplanen f] i P end 

 selve dette Punkt, kaldes Punktet et ukonvekst Fladepunkt. Et indre Punkt Q, 

 forskelligt fra P, som er fælles for Fladen og /7, maa altid være et indre Punkt af 

 en sammenhængende Bue ß, som ligger baade i Fladen og i /7; da Fladen nemlig 

 er en Normflade, kan // ikke berøre Fladen i Q, og der maa derfor i Omegnen af 

 Q opstaa en Skæringskurve ß med modsat rettede Halvtangenter i Q. Kurven ß 

 kan ikke indeholde noget Dobbeltpunkt; thi heraf vilde følge, at Planen 17 havde 

 en lukket Kurve fælles med Fladen, og denne Kurve vilde da begrænse et Flade- 

 stykke, inden for hvilket der maatte være et Punkt, hvis Afstand fra // var 

 Maximum, og i dette Punkt vilde Tangentplanen være parallel med //,') hvilketer 

 udelukket, da Fladen er en Norm flade. 



Af denne Betragtning fremgaar det, at alle fælles Punkter for Planen // og 

 Fladen, maa udfylde en Samling af Kurvebuer, hvoraf enhver er uden Dobbelt- 

 punkter, og som enten forbinder P med et Punkt paa Fladestykkets Randkurve 

 eller forbinder 2 Punkter af denne Randkurve uden at indeholde P. De fra P ud- 

 gaaende Kurvegrene kan ikke træffe sammen uden for P, da dette nemlig vilde 

 medføre Eksistensen af en lukket Skæringskurve, hvilket som ovenfor vist atter 

 vilde føre til, at dei- fandtes et fra P forskelligt Punkt, hvis Tangentplan var 

 parallel med //. Kurvebuerne kan kun forekomme i endeligt Antal, da en For- 

 tætning af Buerne vilde frembringe nye Punkter, hvor Tangentplanen var parallel 

 med //. Altsaa: Det er muligt omkring P at afgrænse et saadant Omraade ß paa 

 Fladen, at Tangentplanen // skærer dette Omraade i et endeligt Antal indbyrdes 

 adskilte Kurvebuer, der udgaar fra P og forbinder dette Punkt med Punkter af 

 Omraadets Begrænsning. Ved disse Buer deles ß i et Antal Fladestykker, som af- 

 vekslende ligger paa den ene og paa den anden Side af fl (i modsat Fald vilde der 

 nemlig opstaa nye Berøringspunkter for /7), og som derfor maa forekomme i et 

 lige Antal, og Antallet af Kurvebuer, der jo maa være det samme som Antallet af 

 Fladestykker, er derfor ogsaa et lige Tal. Vi skal om et Øjeblik se, at den Om- 



>) Heviset herfor behover man ikke at opholde sig længe ved; da Fladen i Omegnen af Punktet ligger 

 helt paa den ene Side af Planen gennem Punktet parallel med //, maa alle Tangenter i Punktet 

 ligge i den nævnte Plan. 



3* 



