20 



stændighed, at Fladen er en Norniflade, nødvendigvis maa medføre, at Antallet af 

 Kurvebuer altid vil være 4. 



For det første véd vi, at der, paa Grund af den projektive Forbindelse mellem 

 tilsvarende Tangenter til Fladen og den sfæriske Afbildning, i P højst kan fore- 

 komme 2 Tangenter, hvis tilsvarende Normalsnit har uendelig stor Krumningsradius, 

 med mindre alle Normalsnit i Punktet havde denne Egenskab; det sidste Tilfælde 

 ser vi foreløbig bort fra. Paa den anden Side maa enhver Grænsestilling for en 

 Halvlinie PQ, der udgaar fra P og indeholder et mod P konvergerende fælles Punkt 

 Q for Fladen og Tangentplanen fj i P nødvendigvis bestemme et Normalsnit med 

 uendelig stor Krumningsradius, fordi Normalsnittet gennem Linien PQ maa inde- 

 holde et Punkt R mellem P og Q, hvis Tangent er parallel med PQ, og Fladenor- 

 malerne i P og /? er da begge vinkelrette paa PQ, hvoraf man slutter, al Grænse- 

 stillingen for PQ og den tilsvarende Retning i den sfæriske Afbildning maa være 

 vinkelrette paa hinanden. Herved kan man da indse, at hver af de Kurvegrene, 

 som udgaar fra P som Skæringskurver mellem Fladen og Tangentplanen fl i P 

 har en bestemt Halvtangent i P, samt at Antallet af de indbyrdes forskellige Halv- 

 tangenter til de nævnte Kurvegrene i P maa være højst 4. 



20. To forskellige af de nævnte Kurvegrene k^ og k., (Fig. 7) kan ikke have 

 samme Halvtangent i P, thi dette vilde medføre, at den til en vilkaarlig Tangent- 

 retning / i P hørende konjugerede Kurve paa Fladen 

 i P vilde tangere /Cj og ko- Drages nemlig en Linie r 

 parallel med / og beliggende i Tangentplanen // saa-; 

 ledes, at den skærer Kurvegrenene k^ og /c^ i 2 Punkter, 

 henholdsvis Q og R, da vil en Plan gennem r -i- fJ 

 skære Fladen i en Bue QR, som indeholder et Punkt S 

 (mellem Q og R), hvor Tangenten er parallel med r, 

 altsaa ogsaa parallel med /; og idet r konvergerer mod 

 t, vil S konvergere mod P samtidig med, at Halvlinien 

 PS' (S' er Projektionen af S paa IJ) stadig er belig- 

 gende mellem Halvlinierne PQ og PR; dersom de sidst- 

 nævnte Halvlinier altsaa konvergerer mod samme 

 Grænsestilling, vil PS', og dermed PS, ogsaa konver- 

 gere mod denne Stilling. Der skulde saaledes være 

 uendelig mange Tangentretninger / i P, som alle har 



konjugerede Kurver med een og samme Tangent i P. Men da Fladen er en Norm- 

 flade, vil dette være udelukket. 



21. To Kurvegrene k^ og k.^ med forskellige Halvtangenter /j og /„ i P kan 

 ikke udgøre den fuldstændige Skæringskurve mellem Tangentplanen og Fladen. 

 Heraf vilde nemlig følge, at ethvert Normalsnit, hvis Plan skiller /j og t., og der- 

 med ogsaa /Tj og /c, (i Omegnen af P), vilde skære Fladen i en Kurve med Vende- 

 punkt i P, altsaa (da Krumningsradius i et Normalsnit ikke kan blive Nul, naar 



Fig. 7. 



