24 



28. Foruden disse 2 Tilfælde kan der endnu indtræffe del Tilfælde, hvor en 

 Hovedlangent er en Bølgetangent, d. e. den har uendelig mange Punkter, men 

 ikke noget sammenhængende Stykke, fælles med Fladen i Omegnen af Rørings- 

 punktet, som da siges at være et Hølge punkt. 



Endelig maa det nævnes som en Mulighed, at Hovedtangenten helt eller delvis 

 kan ligge paa Fladen, idet en af Kurvegrenene k^ eller ko kan blive retlinet, i 

 hvert Fald i Omegnen af P. 



Med Hensyn til Muligheden for Bølgepunkters og Bølgetangenters Forekomst 

 skal vi oplyse gennem et Eksempel, at der gives Normflader, som er over- 

 alt tæt opfyldt af Bølgepunkter. 



Vi vælger en Translationsflade med Ligningen ' 



hvor (p{x) er 2 Gange differentiabel og saaledes bestemt, at <p"{x) bliver en positiv, 

 kontinuert Funktion, som i det betragtede Interval har en overalt tæt Mængde 

 Maxima og Minima. Kurven z = if(x) i A'Z-Planen bliver da en konveks Bue, som 

 i hvert Punkt har en bestemt oskulerende Parabel af 2. Grad med Akseretning r. 

 Nu maa Kurven z = yr'fx) have en overalt tæt Mængde af Vendepunkter, og som 

 Følge deraf en overalt tæt Mængde af Bølgepunk ter '), d. e. Punkter hvor Tan- 

 genten har uendelig mange Punkter fælles med Kurven. Heraf slutter man imid- 

 lertid, at Kurven z = (p{x) har en overalt tæt liggende Mængde af Punkter, hvor 

 den oskulerende Parabel af 2. Grad har uendelig mange Punkter fælles med Kurven. 

 Lad .r^ være Abscissen til et saadant Punkt. Ligningen for Parablen i A'Z-Planen 

 lyder da saaledes: 



Den hyperbolske Paraboloide: 



z = I f"(Xo) (x—Xa)- + <p'{x„) (x—Xo) + <f{x„) — -L y 2 



skærer altsaa den givne Flade i uendelig mange Parabler, som har et Fortætnings- 

 sted langs Parablen x = Xq, z = <p{x^) — i y~, og enhver ret Linie paa Parabol- 

 oiden bliver derfor en Bølgetangent til den valgte Translationsflade. Vi har altsaa 

 konstrueret en overalt ukonveks Flade, som indeholder en overalt tæt Mængde 

 Punkter, hvis Hovedtangenter alle er Bølgetangenter. Og dog er den her forelagte 

 Flade en Normflade. Man konstaterer dette ved at benytte de med XZ- og VZ-Planen 

 parallele plane Snit som Frembringerkurver. I den sfæriske Afbildning vil disse 

 svare til Storcirkelbuer, idet man langs de nævnte plane Snit kan lægge omskrevne 

 Cylinderilader, hvis Frembringere er parallele med henholdsvis YZ- og XZ-Planen, 

 og det ses straks at den sfæriske Afbildning bliver en-entydig, da ingen af Kur- 

 verne z = f{x), z = — l^y- (i henholdsvis XZ- og VZ-Planen) har 2 parallele Tan- 



') Se Forf.s Afhandl.: Contribution à la géométrie infinitésimale de la courbe réelle (Oversigten 

 1911) S. 481. 



